主题：对科技版面鲤鱼jj《物理学公理化》一文的回复 -- 落花流水

在科技版看到这篇好文，但是好像大家的回复都有点跑题，忍不住下河谈谈我对这个问题的看法。河里高人多，我又很久没看这方面的东西，错误肯定不少，还望不吝指出。

首先，俺大概可以肯定鲤鱼的ld不是学数学或者物理的，但和物理应该很有关系，天文，力学或者电子都有可能。这篇文章对物理学的一些基本理论和概念进行了深入地思考和细致地阐述，但是它忘记了一点物理学最基本的本质，使得这篇文章的结论基本上失去了意义，这并不是说这篇文章的结论是错的，而是说这根本就是一个伪命题。物理学从来就不可能也不需要进行文中所说的公理化。

先介绍一点背景吧，公理化是二十世纪初，数学家在经过非欧几何的沉重打击后，痛定思痛，由以希尔伯特为首的公理化学派所提出的（这句话其实是错的，公理化学派是以Zermelo为首的，Hilbert为首的是形式主义学派，但是我本人不是学数学的，不是太能区分这两个学派，反正对我来说，看上去都差不多，大概形式主义的出发点更倾向于无意义的符号，而公理化学派更倾向于集合论的有限几条公理。另外更直接导致现代数学基础四大流派出现的不是非欧几何，而是康托集合论中的悖论）。对希尔伯特这个人，大家可能更熟悉他提出的二十三个问题，他眼光确实很毒，提出的这些问题，每一个都可以用价值连城来形容，基本上现代数学中所有有趣的问题都在其中了，或者是它们的衍生物，这二十三个问题我们下面还要谈到。不过希尔伯特本人对数学相容性的二十年努力和形式主义学派，到三十年代就基本上被哥德尔摧毁了（陪葬的还有逻辑主义学派，公理化学派受到了很大打击，没事的是直觉主义学派，不过我也很难想象什么可以打击直觉学派，直觉嘛，说你对就对，说你错就错）。原文中也提到了哥德尔不完备定理，不过用词有点晦涩，其实这个定理的意义是非常深远的，而且也很容易理解，简单的说它表明了不是所有的事情都是非真即假的。想一想吧，同学们，一个不能使用反证法的世界是多么痛苦的世界，然而这就是我们现实的世界。而且不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，哥德尔不完备性定理断言都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括，因为任何这样的公理系统都是不完备的，存在着有意义的陈述从属于这些系统，却不能在系统内部得出证明。另外，不那么被人熟知的勒文海姆-斯科伦定理表明了一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。我觉得基本上这两个定理联合起来就已经宣布了将数学公理化努力的失败，更不用说被证明独立于Zermelo公理系统的连续统假设和选择公理了。

上面扯远了，我还是回到俺的本行，谈谈物理学吧。物理学公理化还是起源于Hilbert，他著名的二十三个问题中第六个问题就是物理学的公理化问题，他建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学，１９３３年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。（其实这里他说的公理化更接近他自己形式主义学派的观点，都是试图从一些无意义的符号出发的。）我们已经看到了，他在数学领域做的尝试已经失败了，那么他的这个倡议呢，很不幸，运气也不太好。首先，就没什么人响应，物理学家基本不鸟这件事。大家注意一下时间背景，这个问题是在1900年提出来，正是量子力学和相对论的前夜。那是物理学的黄金年代，一个二流的物理学家也能做出一流的成果（这句话是无责任引用，如有人知道出处，望告知）。郎道据说就非常郁闷自己没赶上好日子，常常感叹晚生了十年。大家都正忙着解薛定谔的波函数方程或者学矩阵呢，也有少数人正在研究非欧几何。没一个正经的物理学家把公理化当回事情。再往后，数学自己都一团浆糊了，遑论物理。而且数学上对无穷的理解就一直有争执，连续统假设和选择公理都和它有关，大部分数学家都接受选择公理，从而不得不接受愚蠢的“巴拿赫─塔斯基悖论”（Banach-Tarski Paradox），这对物理学家来说，是不可理解和接受的，因为它直接违反了直觉也危害了微积分的基础。

最最重要的问题在于，物理学家对于物理学的认识一开始就和数学家有很大的不同。相对数学家来说，物理学家是彻头彻尾的实用主义者，我们不在乎我们的体系有多么严密，只要没有明显的自相矛盾，和实验吻合就可以了。实验和观测在物理学中扮演的决不是可有可无的角色，它们才是物理学的女王，统治者。你可以随便提出任何一个自恰的物理体系（表面上自恰足够说服我们这种没有大脑的实验者就行了），作出一个可观测的预言，然后你足够幸运，说服了一个实验学家相信你，去做了实验，观测结果吻合，你就再做一个预言，再说服一个实验学家，又吻合了，………………，足够多了以后，世界人民都相信了，你就成功的成为了下一个爱因斯坦。听上去很简单吧，这个只是表达个大概意思，实践起来还是很困难的，邪恶旧势力是会疯狂反扑的。有人说过新的物理学从来没有战胜过旧的物理学，只是老人都死掉了（这句话好像suppose年轻人总是喜欢新东西的）。很多时候，你甚至会对物理学家对严密性的不在意感到惊讶和赞叹，狄拉克引入delta函数的时候，从来没有人听说过这个函数，它甚至不符合数学界当时对函数的定义，大概狄拉克骂了一句“what the hell”就硬上了（他应该骂德语，不过我不会），几十年后，数学界推广了函数的定义，才把delta函数包含进去，直到今天，它还是广义函数中最简单的典型。现代理论物理学中经常要用重整化，简单说就是把发散的数列中间随便添几项，使其收敛，这个方法在数学家（和我）的眼里是非常混账的。老师要你加1到10，你说数字太大了，我不会加，我添几个负数，最后总和是一，这样的作业你说能打几分？这样的理论能公理化？同学们，你是吉丁吗？不过，事实证明，这样的方法是有效的，做出的结论符合实验，而且自恰，大家就都接受了。如今，人人都用重整化，至于到底啥叫重整化，为啥能这么做，不是还养着一堆数学家吗。

最后以我大学数理方法老师的一句名言结束吧。当时我们在学偏微分方程，有榆木疙瘩提问如何判断有解，老师曰“大自然一定是有解的，我们只需要把它找出来”。物理学过去，现在，将来都是一门实验科学，公理化和我们无关。

• “五花八门的科学”精品帖