主题：几何学的故事(1) - 古希腊的成就：欧氏几何 -- earthcolor

几何学的故事(3): 直线不直：非欧几何，微分几何

在 欧氏几何的公理中，第五公理（平行公理）显得比其他四个要复杂。历史上，有很多学者对这一公理提出了质疑，并试图通过其他四个公理来证明平行公理。由于各种原因，大家的尝试都没有成功，比如引入其他公理，后来发现新引入的公理和平行公理等价。

十八世纪末十九世纪初，三位学者（高斯、波约伊和罗巴契夫斯基）各自对平行公理进行了研究，进而引入了非欧几何。高斯画像

其中一个故事是这样的，罗巴契夫斯基想用归谬法，推导出： 如果平行公理不存在，会导致其他欧氏几何的公理或定理之间的矛盾。但是，随着他研究的进行，他并没有发现他预期的矛盾。而且他发现，没有平行公理的系统，自成体系，这就是非欧几何。在高斯、波约伊和罗巴契夫斯基发现的非欧几何中，平行公理被一个假设替代：对于任何直线，通过任何直线外一点，可以有多条平行线，而不是欧氏几何里的唯一一条平行线。这个空间是双曲空间，几个著名的结论是：三角形内角之和不是180°、相似三角形不存在、直线不直。

另一种非欧几何中，椭圆空间 - 平行公理被一个新的公理所替代：没有平行线存在（在平面上，所有直线必相交）。

在德国面积的勘察活动中，高斯需要将三维数据用二维地图来表达。这个问题的解决，产生了微分几何。微分几何是曲面的理论，认为一个曲面本身就是一个空间。高斯认为，一个给定空间的弯曲程度，可以只在曲面本身上加以研究，而与其他可能包含它或不包含它的较大空间无关。这个概念，被证明是爱因斯坦广义相对论所必须使用的。可以说，这个概念为物理学以后的发展打下了基础。

在高斯研究的基础上，庞加莱、黎曼和希尔伯特进一步发展了非欧几何。