主题：【原创】勾股定理（七）--- 做人要低调 -- 我爱莫扎特

本文的主题是“勾股定理”，但被我天马行空的写成了几何学发展史，是我自己也料想不到的。不过，这背后的原因并不难理解。勾股定理无非是计算长度（或者说距离，度量）的公式，而测量长度从来就是几何学的根本。

让我们看看什么是“几何”。Geometry这个词，分为两部分。Geo代表大地，来源于希腊神话的众神之母 --- 大地女神盖亚（Gaia）。话说盖亚诞生于世界最初的混乱状态（卡俄斯，Chaos），是第一个希腊古神。她生下天空之神乌拉诺斯，又与他结合生下了众神。现在掌权的宙斯是她的孙子。。。对相关历史感兴趣的同志可参阅Hesoid写的纪实报告文学《神谱》（Theogony）。另一方面，metry与mesure，metre等词同源，意为测量。Geometry者，大地测量也。

远古的农耕时代，为了精确计算土地的长度和面积，人们渐渐摸索出一套研究各类图形的方法，这就是欧式几何学的来源。渐渐的，几何学脱离了土地，变成了一门纯粹的“公理化”的数学理论。后人们清楚的记得阿基米德去世前的场景：当他的城邦被罗马人攻破时，他正在沙地上潜心研究几何，一名闯入的罗马士兵踩坏了地上的图形，让他怒不可遏，与其争执，而不幸被刺，倒在了他最钟爱的几何图形上。

此后近两千年，数学家对天空的兴趣似乎远大于大地。与阿基米德同样伟大的牛顿从天空得到灵感。在研究行星轨迹的问题上，他发现了万有引力定律，并独立发展了微积分这一人类有史以来最有力的数学工具。

1818年，在经历了早年在天文学领域的辉煌后，高斯把目光重新投向了大地。在此后的九年时光里，他主持了汉诺威公国的大地测量工作。这不仅是地质测绘史上的重要工程，也开启了几何学新的一幕。

作为一个纯粹的数学家，高斯主导这样一个“实际”的工程一定有他自己的道理。在我看来，非欧几何应该是驱使他测量大地的动力之一。测量过程中，高斯曾试图通过测量Harz的Brocken --- Thuringer Wald的Inselsberg --- 哥廷根的Hohen Hagen三个山头所构成的三角形的内角和，以验证非欧几何的正确性。很可惜，测量的精度不够，实验未成功。但这说明高斯这个非欧几何的先驱一直相信我们生活的宇宙不是欧式空间。如果实验成功，非欧几何便不再是想象的几何，而是实实在在的大自然的几何学了。事实上，高斯，罗巴切夫斯基，鲍耶以及后来的黎曼，始终致力于寻找非欧几何的物理意义。他们无疑是有先见之明的。

在公开资料中，对高斯的大地测量工作描述如下：

这段描述让我们了解到大科学家的过人之处。

首先，是勤奋的工作态度。古来有大成就者，无一不是经过长期艰苦卓绝的工作。即便像牛顿，莫扎特这样举世公认的天才，如果人们了解他们的工作时间和状态，就不会惊讶于他们的巨大贡献。所谓“牛顿的苹果”或者“瓦特的水壶”，演义的成分远远大于真实性。荀子曰：“不积硅步，无以至千里。不积小流，无以成江海”，汉诺威的大地测量正是在高斯的手中一个数据一个数据测绘而成。

光靠勤奋成不了大师。人类与动物的区别，在于人类会使用和创造工具。而科学大师则是那些最善于使用工具和发明工具的人。

阿基米德发现的浮力定律，杠杆原理，积分等等数学物理学工具，大大提高了人类的生产力。而他还喜欢自己发明制作机械。他不仅发明了举重滑轮、灌地机、扬水机等民用设施，还曾经把他的科学知识运用在国防事业上。他所在的小城邦几乎依靠他一人之力击退了多次罗马人的进攻。传说中，他运用杠杆原理设计的投石机击退敌人无数，运用光的反射制造的聚光镜曾将敌船焚毁，他甚至还发明了铁爪起重机将敌船抓起掉转。

牛顿为了研究天体运动，一手打造了数学工具 --- 微积分理论。微积分为后来的第一次工业革命奠定了理论基础，可谓人类有史以来最重要的数学工具。而牛顿为了自己的研究也经常亲手打造工具。他为了观测天体而制造望远镜，自己设计了研磨抛光机，实验各种研磨材料。不久，他制成了第一架反射望远镜样机。

在汉诺威公国的大地测量中，高斯动用了一切能动用的工具。为了测量的需要，他发明了日光反射仪。为了进行大规模的数值计算，没有计算机帮助的高斯充分运用了他发明的最小二乘法和快速解线性方程组的算法，他的这套方法直到今天仍被计算数学（又称数值分析）的专家们广泛使用。最重要的是，他对地球表面的研究最终形成了现代微分几何学。

高斯的微分几何不是一两句话能讲清楚的。打个比方：欧式几何学好比中国古代的武术，精美绝伦又技巧繁复。而笛卡尔的坐标几何以及牛顿莱布尼茨的微积分则如同火器的发明。高斯的微分几何相当于教会了古战场上的人们如何使用火器。自此，几何王国完完全全改朝换代了。

接下来的一段时间里，我会把微分几何的一些重要的内容独立成章，补充在这节后面。其中不可避免的会出现一些技术性的内容，我会尽可能加以解释，相信了解一点微积分的朋友们能不太费力的看懂它们。

• 【原创】勾股定理（七）--- 做人要低调
• 目录（续）
• 宝
• 补充几句