主题：【原创】勾股定理（九）--- 坐标 -- 我爱莫扎特

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坐标的发明，是数学史上值得大书特书的历史性事件。这个简单而不平凡的工具，彻彻底底的改变了几何学的风貌。

坐标，是一座桥梁，将“形”和“数”完美的结合了起来。有了它的帮助，我们可以把纯粹的几何问题转化为代数的计算。许多曾令人耗尽脑汁的几何难题突然迎刃而解。欧式几何这门人类最古老的数学分支之一，在坐标诞生之后，即被人类彻底征服。

不仅如此，在计算机发明之后，人类更是开始探索“机器自动证明”方法。20世纪七十年代后期，中国数学家吴文俊通过研究代数方程的性质，在平面几何的机器证明上取得一系列重要突破。用他的方法，不仅能证明已有的几何定理，还能发现新定理。此后，欧式几何不仅对人们不再困难，连机器都可以轻松搞定。

坐标的思想如此简单，让人很难理解人类为何花了那么久的时间才掌握它。其实，坐标思想的雏形，大概早在千年之前就有，但当时的人们对代数计算的掌握远远谈不上充分。直到距今350年前，法国大数学家，大哲学家笛卡尔（Rene Descartes）终于能熟练掌握今天高中生所熟知的那套数学工具，从而将人们一直朦朦胧胧略有了解的坐标思想清晰的表达了出来，一举奠定解析几何的基础，也为后来的微积分提供了成长的土壤。

而且，笛卡尔坐标系的思想在代数学领域也得到了很大的发展，为了研究高维欧式几何，必须发展对应的代数工具，这就是今天理工科大学生必修的“线性代数”。

这种“形”与“数”互相转化的思想简明易懂，人们似乎早已习惯而感受不到它的伟大之处。但伟人的心灵似乎是相通的。与前辈笛卡尔一样，高斯非常清楚坐标的力量。笛卡尔用坐标将“形”转化为“数”，而高斯则用坐标将“数”转化为“形”。在人们对复数（即实数加上虚数）还心存疑虑的时候，高斯第一个提出可以将复数看作平面上的点。这样一来，对复数的研究很容易转化为对几何的研究。这个简单的思想，直接改变了此后近200年整个数学的面貌。

此后，高斯的思想被他的学生黎曼进一步深化。为了研究复变函数（即以复数为自变量的函数，这类函数与实变函数差异很大），黎曼经常考虑函数的几何性质。作为一个典型的例子，可以参看我爱莫扎特:【原创】看得见的数学之Mobius变换

由于复变函数的特殊性质，黎曼还特地发明了一种几何对象 --- 黎曼面（Riemann Surface）。这或许是20世纪数学家最喜爱的几何对象了吧。它的影响甚至超出科学之外。不少艺术家以此为题作画，比如Escher的名作《画廊》（Print Gallery）就是画在黎曼面上的。

[MP=480,480]http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/clips/bclip_1_1.mpg[/MP]

更有甚者，Aldous Huxley在小说《美丽新世界》（Brave New World）中，有种流行的体育运动叫“黎曼面网球”，想必是非常困难的运动。

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好久没更新，实在是自己的事情很忙。坐标这篇本来打算写到微分几何的局部坐标系，不过写得太长了，就先贴一半上来，剩下的已经接近完成，很快贴上来。

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• ※ 西河文萃 第24期 2009年7月1日 ※ 上
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