主题：【原创】勾股定理（十三）---布尔巴基与数学结构 -- 我爱莫扎特

几个星期没动笔，突然发现自己成了科技版的嘉宾，真是汗颜啊汗颜！之所以越写越慢，除了兄弟的电脑坏了之外，主要还是因为写作遇到了瓶颈。上一节写到了微分的勾股定理，作为19世纪数学最重要的数学思想之一，如何把它的意义讲明白，又不让读者陷入过深的技术细节，实在令我头疼。我决定稍微偏离一些原来的进程，在这一节讲几个比较初等的小例子，试着向大家介绍一下数学家们到底在想些什么，做些什么？

数学到底是什么？数学家又在做些什么？这个问题恐怕一千个人有一千个答案。便是数学家自己，兴趣和品位也相差颇大。某人看来很有意思的研究，在另一个人眼中可能毫无价值。爱因斯坦当年就感叹：物理学的核心问题非常明确，而数学的问题太多太杂，让人很难分辨出重要性，从而抓住核心问题。然而，毫无疑问的是，数学这样一个庞大的学科，在过去的一两百年中，无论广度还是深度都有很大的发展。爱因斯坦的批评针对的是广度，那么什么才是数学在深度上的发展呢？难道只要证明了“哥德巴赫猜想”就是数学巨人了么？对数学工作的评价有没有客观的标准？为啥高斯提出了微分几何第一基本公式就那么重要，仅仅是因为他是高斯么？

这些问题的回答涉及到数学本质的思考。大约在100年前，数学界乃至哲学界曾经就这些问题产生过非常激烈的争吵，并产生了不同的派别。其中的一个非常重要的派别是法国的布尔巴基（Bourbaki）学派。关于这个学派不是三言两语能讲清楚的。简单说来，就是20世纪初的一群年轻人聚在一起以他们自己的观点编写了一套数学教科书。

这群年轻人非常喜欢恶作剧，他们在很长的一段时间不肯以真面目示人，而以Nicolas Bourbaki这个假名发表所有著作。他们甚至于还给这位Bourbaki设计了完整的身份，住址，包括可以上溯到拿破仑时代的族谱。当然，并不是所有人都相信这位先生真的存在。50年代Bourbaki先生以个人名义申请加入美国数学会，被拒绝。而美国数学家Ralph Boas为大英百科全书写词条时，明确指出Bourbaki是一个团体的化名。这可惹恼了这位法国佬，他立即散布消息说Boas其实并不存在，只不过是一群美国数学会的数学评论的编者姓名首字母之缩写。这位Bourbaki老爷去世于1968年11月11日，他们为“他”发了一个只有数学家看得懂的讣告。

当然，使他们青史留名的并非他们的恶作剧，而是他们的写的教科书《数学原理》（Element de Mathematique）。说起来，写教科书这件事很容易被人看作没有技术含量。毕竟这是总结性的工作，看不到教育部倡导的素质教育中所重点突出的“创新精神”。不过大人物似乎总喜欢写教科书。萨缪尔森的《经济学》写了十几版，前言里就有一段老不客气的话，大致是说写这套经济学教材的目的就是为了“影响一代人的思想”。在我看来，他是大大的成功的，不仅影响了美国人，连中国的央行财政部也被他深深的“影响”着。而布尔巴基的这套教材，从出版以来，争议不断，但影响之大罕有匹敌。比如今天全世界数学教科书通用的数学符号，如Q表示有理数，R表示实数等等，都是从这本书开始，而结束了几个世纪以来各国数学界数学记号的混乱局面。光这点就和秦始皇统一度量衡可以相提并论。不过这只是副产品，最重要的是构建这套教科书的数学思想。

简单来说，他们认为数学是研究抽象结构的理论。所有的数学对象，不管是几何图形，数，函数，群，都具有一定的结构。研究数学就是研究这些结构，而用他们的方法，大部分数学对象都可以用这种结构的办法加以分类。打个不太恰当的比方，他们为数学建立起类似于生物学的“门纲目科”。他们的教科书完全构建于这一体系之上。

这套思想非常强大，但这样写出来的教科书实在令人头疼。比如大家最熟悉的实数，通常都是教材最初出现的概念。但在他们的书中，由于实数具有比较复杂而丰富的数学结构，如同自然界中的哺乳动物，虽然常见却并不简单，而被安排到了相当后面的章节才出现。可以想象，中学生拿着这套书作为课本将是多么恐怖的事情。当然，喜爱这套书的人对其赞不绝口，比如世界公认的天才数学家Deligne在12岁的时候曾经自学《数学原理》，读得津津有味，他后来能获得菲尔茨奖可能也与这套书的启蒙有关系。这套教材虽然没有被直接使用，但法国在60年代的数学教材改革仍然受到它的深刻影响，间接成就了法国数学在世界上的一流地位。

更进一步，布尔巴基学派相信只要找到正确的结构，数学问题的解答会自然出现。如果说一个定理是一座漂亮的楼房的话，他们关心的是它的钢结构，用什么建筑材料，用什么装修材料，这些搞清楚了房子也就造出来了。反之，巧妙的解题技巧是“不自然”的，被他们看不起。一个典型的例子是：布尔巴基思想的第二代传人，20世纪最伟大的数学家之一格洛腾迪克（Alexendre Grothendieck）曾经证明一个非常重要的定理，却因为证明过程中用了一个小技巧而被他自己所不齿，从而一直不肯发表，最终他的朋友实在看不下去帮他成文发表。毫无疑问，这套思想过于极端，受到无数人的反对，但它对现代数学思想的影响却也是同样巨大的。

如同物理学家一直试图找出世界的“本质”构成。从古代的金木水火土，到现代的分子原子，其实都是对物理世界内部结构的探求。同样的，受到布尔巴基思想的影响，现代数学家也一直追求着数学命题下面隐藏着的本质或者结构。从这个意义上说，一个训练有素的数学家并不难判断一项真正重要的数学工作的价值。下面我来举几个例子，让大家对于数学的结构，层次等有个感性的认识。

• ※ 西河文萃 第25期 2009年8月11日 ※中