主题：谈谈人口政策当前的真正问题 -- 东晓山

河里关于计划生育的讨论一直很激烈。不管大家支持不支持计划生育，有一个事实是无可否认的：即少数民族实际人口上升的速度要远比汉族人口上升的速度快。少数民族人口的上升是促进多元文化的融合、给国家带来繁荣稳定，还是恰恰相反？这个学期正好学微分方程课，让我们从一个简单的数学模型来分析一下吧。

－、有限资源下单一物种的数量模型

在通常情况下，如果一个物种所依赖的生存资源是无限的（比如说物种数量相对来说比较少），那么这个物种的出生率和死亡率是相对稳定的。就拿人口来说吧，如果用y(t)来表示时间t时人口的数量，那么 y(t)可以用如下方程来描述：

y’(t)=ky(t) （ 这里k是一个常数，去掉t，方程写作 y’=ky。）

其中 y’(t)是人口的增长速度，也就是y(t)导数，k是出生率减去死亡率，这个方程就是说人口增长率跟人口的数量成正比。方程的解就是

y(t)=y(0)exp(kt)

也就是说，只要初始时人口 y(0)不是0，那么人口是呈指数增长的。但是在实际情况中，随着人口规模的不断扩大，资源的有限性就起了越来越大的制约作用。在这种情况下如何来模拟人口数量呢？数学上著名的Logistic方程描述了这种现象：

y’=k(M-y)y=kMy-kyy （这里M是一个比较大常数，kM是上一个方程中的k，可以想见k很小。）

这个方程什么意思呢？它的意思是：如果人口规模比较小的时候，(M-y)可以看成常值，因而人口仍然是呈指数增长的，但是当人口越来越趋近于M时，人口增长的速度原来越小，因为(M-y)越来越趋近于0，使得方程右边的乘积变得越来越小。这个M就是人口能够达到的极限、峰值。如果人口达到峰值，那么他既不增加也不减少，永远维持在这个水平。

这个Logistic方程在很多情况下很好地描述了有限资源下单一物种的数量模型。在很多情况下，为了更精确地模拟某个物种数量，我们通常只是不断调整常数k，M，或者加入一些高阶项，但是这不影响我们的结论。据说我们人口的模拟就是这么来的。

结论：1、人口增长的速度通常是稳定的，不管是上升还是下降，趋势一旦形成，短时间内是没有办法调整的，因此我们制定人口政策要谨慎。2、如果人口所依赖的生存资源有限，那么人口的增长的速度会越来越慢，这个速度的减慢可以通过各种方式来实现，比如说计划生育。

二、有限资源下竞争物种的数量模型

现在我们考虑在同一个环境下竞争物种的数量模型。还是拿人口来说吧，比如说考虑游牧民族和农耕民族。对于同一片土地，游牧民族希望这块土地用来长草放牧，农耕民族希望这片土地用来生长粮食，显然这两者处于竞争的关系。如果用x(t)和y(t)来分别表示两个民族的人口数量，那么这两个变量可以用如下的方程组来表示：

x’=ax-bxx-cxy

y’=dy-eyy-fxy

这个方程组里面，a，b，c，d，e，f都是常数。我们看到，如果c和f都是0，那么x和y都满足Logistic方程。但是因为x和y是竞争者，任何一方数量的增长都会导致另一方数量的减少；我们就添加两项cxy和fxy。这个方程组的解是什么样子呢？通常我们不太容易写出解的具体表达式，但是我们可以做定量分析。

首先，这个方程组有4个常值解。这是什么意思呢？就是x和y的数量不随时间的变化而变化。他们是令方程的右边等于0而得到的。这4个常值解为(0,0),(p,0),(0,q),(m,n)。为什么会有(0,0)呢？因为如果初始是x和y都是0，那么他们一直是0。那(p,0)和(0,q)是什么意思呢？如果x和y有一方初始时为0，那么这一方始终为0，p和q是另一方的峰值（实际上，p=a/b,q=d/e）。这第4个解(m,n)就是如果x和y在初始时分别是m和n，那么随着时间的推移，他们的人口数量是不变的，x和y共存。

下面我们要问：x和y会永远共存下去么？微分方程的稳定性理论告诉我们：不一定！什么是微分方程的稳定性理论呢？这个理论说：对于上面的微分方程组，只要开始时x和y不等于0，那么随着时间的推移，我们会有如下情况：

1。x趋近于p，y趋近于0；或者y趋近于q，x趋近于0。也就是说x和y是你死我活的竞争关系。即使出现共存(m,n)，这个平衡也是非常脆弱的，只要一方变化一点点，平衡立刻打破，不是x变为0，就是y变为0，另一方趋近人口极限。

2。 x趋近于p，y趋近于0；或者y趋近于q，x趋近于0；或者x趋近于m，y趋近于n。也就是说除了x或y被消灭的情况，还有共存的情况出现，并且这个共存是稳定的。

那么我们要问，什么情况下出现1，什么情况下出现2？微分方程的稳定性理论告诉我们，如果be小于cf，出现情况1；如果be大于cf，出现情况2。

我们把be称为容量因子，把cf称为竞争因子。上面的结论解释为：如果容量因子大于竞争因子，那么共存就是稳定的；如果容量因子小于竞争因子，那么共存就是不稳定的，平衡一旦打破，一方迅速变为0。

还有一个问题：在情况1种，哪个更倾向于消亡，哪个更倾向于生存并且达到人口峰值呢？答案是：速度慢的那个消亡，速度快的那一个生存。

在实际情况种，为了更准确地模拟处于竞争关系的人口模型，我们要调整方程里面出现的常数，或者添加高阶项，但是这个不影响我们的结论。

三、不是结论的结论

从上面的简易描述，我们可以得出：

结论1：在模拟单一人口的时候，我们并不关心人口在此时此刻的数量。我们关心的是人口的出生率和死亡率，也就是人口增长的速度。速度最终决定一切，不是规模决定一切。

结论2：在模拟竞争人口的时候，我们关心的是容量因子和竞争因子的大小比较，容量因子大，共存更容易达到；竞争因子大，你存我亡，非此即彼。同样,相同的竞争因子,不同的容量因子可能导致在一个系统中稳定共存,在另一个系统中你死我活。

我们的首要任务,是尽量增加人口的峰值，也就是增加生存资源，才不会出现你死我活的悲剧。那么，在河里讨论人口问题的时候我们会犯那些错误呢？在承认竞争存在的前提下，下面的认识是错误的：

1。不同的民族之间人口数量差别巨大，因此得出即使某些民族出生率很高，也不会出现人口问题结论。根据结论1，错！

2。拿一国少数族裔的比例和另一国少数族裔的比例做比较，得出某国政府更应该关心人口问题的结论。根据结论2，错！

——学习讨论贴。关于微分方程稳定性的讨论，大家可以google关键词pplane，输入一些数字一试，看看方程解的结果。