主题：戴维.多伊奇：鲜花为什么美丽 -- 万年看客

在听觉上，与主音λ最和谐的就是2/3 λ和3/4 λ（除了主音的各个八度之外）。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的长度问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到2/3 λ。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到3/4 λ。

得到这两个波长之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及2/3 λ、3/4 λ。实际上3/4 λ已经比2/3 λ的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音λ最和谐的2/3 λ已经找到了，他们转而找2/3 λ的2/3 λ，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了(2/3)^2 λ即4/9 λ。可是这已经低于了λ/2的范围，进入了左边一个八度。没关系，不是有两倍波长等比关系吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把4/9 λ的波长加倍，便得到了8/9 λ。

接着把这个过程循环一遍，找2/3的3次方，于是就有了8/27 λ，这也在左边一个八度中，再次波长加倍，得到了16/27 λ。

就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是(2/3)^n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

十二平均律在16世纪由明朝皇族世子朱载堉发现。由于波长与弦长之间存在正比关系，因此波长关系可以转化为弦的长短关系。所以即使在16世纪，那个西方物理学才刚刚起步，还没有发现机械波的时代，中国明朝皇族世子朱载堉就利用他精湛的数学计算能力，发现了这一近似值规律，这也是一件十分伟大和令人赞叹的事。

明朝中叶，皇族世子朱载堉发明以珠算开方的办法，求得律制上的等比数列，具体说来就是：用发音体的长度计算音高，假定黄钟正律为1尺，求出低八度的音高弦长为2尺，然后将2开12次方得波长公比数1.059463094，该公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黄钟正好还原，这在物理学上就刚好对应了波长的比例关系。朱载堉用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题。

在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，Pere Marin Mersenne在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论。