主题：【原创】密码传奇（三）：14、纯技术篇之活拆了ENIGMA（5） -- 1001n

【单字替代模块】

这就是单字替代模块的核心——连接板（[德]Steckerbrett，[英]Plugboard）。

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图截的有点黑，不好意思……这个连接板上，是用数字代表字母的

从图上可以看出：连接板这玩意儿，倒是没转轮那么复杂，以至瞟一眼就能让人晕过去——其实，如果图不是那么黑的话，还是满简单的嘛，嘿嘿。

顾名思义，连接板连接板，就是要连接点儿什么的板子；具体到ENIGMA上，就是“连接字母”。如果不那么严谨地概括一下的话，连接板起的就是这么个作用：把能映射出某字母的线路，经过手工调整连接，重新映射为另外一个字母。

比如，我们可以把字母T和字母M相互交换。办法很简单，连接板上不是有26个字母的插孔（每个字母两个插孔，一共52个插孔）么？找一根有俩插头的导线，一头插进字母T的插孔中，另一头插进字母M的插孔中——这么“短路”一下，T和M就被交换了。

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这就是插头，具体说就是海军型的M4上的插头

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两个插头，就这么被一根连线联接起来

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用两根连线，把A和J，S和O分别连接起来的样子

如上图所示接好线后，进入连接板的字母信号中，A就被替代了成J，而J被替代成了A；S与O也是同样被互代了。

简单吧？

不得不承认：连接板这个设计的代价不大，操作也不繁，字母替代的效果却相当好——实在是很经典啊。

不过，连接板所起到的作用，却还不是严格意义上的“单字替代”。作为对比，严格的单字加密应该是类似这样的形式：

明文字母表 A B C D E F G H …… W X Y Z

| | | | | | | | | | | |

密文替代表 T K E M U Y L A …… Q C O J

可以看到，明文的A对应密文的T，而密文的A却对应明文的H，二者并无关联。

而如上文所述，连接板提供的字母替代，是互代的。也就是说，如果单一经过连接板加密的话，假设明文A对应密文的T，那么，明文的T也一定对应密文的A。再说白点儿，就是：如果A被加密成T，那么，T也一定会被加密为A。

类似地，这样的字母对一共有13对。

这样一来，如果说一张严格的单字替代换字表的长度是26的话，那么连接板所构造的换字表，长度就只有它的一半，也就是13了。思考一下不难发现：连接板提供的字母替代的变化数量，比规范的单字替代所能提供的要少的多。

连接板操作简便、直观固然是个优点，但是模样多少有些失之粗糙。如果单单“以貌取机”的话，它实在是不怎么吸引人，也实在看不出有什么特别高的“技术含量”。

不过，我们只要稍微计算一下就会知道：这个其貌不扬的连接板，竟然也是个厉害角色！

关于这个计算，却又得容1001n在此稍微扯远一点了。。。

说来有趣的是，“连接板究竟能给ENIGMA带来多少变化”这个纯粹的排列组合问题，各种资料给出的答案却是五花八门——从理论上说，连接板的设计既然已经定型，这个问题就该只有一个答案；可1001n在查找各种资料的时候，却至少发现了六七种……

这六七种答案，还各有各的道理；更气人的是，它们之间的差距也实在大了点儿——最大的和最小的两个数字，之间差了可不是一星半点，也不是一倍两倍，而是一个难以描述的巨大差距……

具体点说，这个差距，居然是10的八十次方！

——10的八十次方，又意味着什么？

按目前公认的学说，整个宇宙（还不是年轻得多的地球）到现在的年龄，如果以秒来计算的话，也才大约是4.4乘以10的十七次方。。。

假设我们有一台计算机，每秒可以运行1亿亿次——放心，这个速度，远远超过目前最牛的巨型计算机的水平；日本计划开发的地球模拟器倒是可以达到这个水准，可惜，预计到2010年才有希望造出来——同时，再假设世界上那个最善良的1001n基金组织，免费为地球上全部的六十亿人，每人发一亿亿台这样的计算机；并且，这些计算机都是从宇宙诞生那一刻开始计算，一直算到今天——那么，一共算了多少次呢？

结果是大约2.6乘以10的四十三次方，离10的八十次方还差不知道多远呢……

《金刚经·妙行无住分第四》中，弟子须菩提没听懂佛的说法，就问佛：您所说的“菩萨应如是布施，不住于相”，是个什么意思？佛（也就是文中的世尊）是这么回答的（其中须菩提的回话用蓝字标注）：

东方虚空，可思量不。不也世尊。须菩提，南西北方四维上下虚空，可思量不。不也世尊。菩萨无住相布施福德，亦复如是不可思量。

而这个差距，真真正如这“四方虚空”一般的“不可思量”！10的八十次方，这实在是个远超过人类感性所能理解的数学概念啊。。

——说来说去，不过是计算一个连接板的变化，就算有差池，也不至于如此离谱吧？

没办法，还是得自己来；毛主席不是教导我们“自己动手，丰衣足食”么？经过四处求援，现在终于有了一个比较清晰的思路和答案；在此要感谢雪个、马鹿以及1001d……，多谢各位！

首先，字母对是用一条连线沟通的。这就是说，每条连线可以连通两个字母；那么，n条连线就可以连通2n个字母。每插好一条线，候选的字母数量就减2；于是，下次可选的字母数量就是（ 2n - 2 ）。

那么，连接板所提供的变化，其实就是两个过程的积；

2n

首先，C 表示26个字母里选择2n个字母进行连接的变化。

26

其次，（ 2n - 1 ) * ( 2n - 3 ) * .... * 1 为这2n个字母可组成的所有字母对的数量。

那么，这二者的乘积，就是连接n对字母的变化总数。于是我们就有

2n

变化总数 = C * （ 2n - 1 ) * ( 2n - 3 ) * .... * 1

26

26!

= ------------------------ * （ 2n - 1 ) * ( 2n - 3 ) * .... * 1

( 26 - 2n )! （ 2n ）！

26! * （ 2n - 1 ) * ( 2n - 3 ) * .... * 1

= -----------------------------------------------------

( 26 - 2n )! （ 2n ）！

26!

= ---------------------------------------------------------

n

( 26 - 2n )! 2 * [ n ( n - 1 )( n - 2 ) * ....* 1 ]

26!

= -----------------------------------

n

( 26 - 2n )! 2 * n!

这个闪着红光的结果，就是连接板上，接插了n条连接线后的变化总数！

即便连线全用上，插满26个字母，n最大也无非就是13；这就是说，n的取值范围，必然落在0到13之间。下面，给出n从0到13的时候，连接板所提供的变化总量：

n = 0 ， 可能变化总量为 1；

n = 1 ， 可能变化总量为 325；

n = 2 ， 可能变化总量为 44850；

n = 3 ， 可能变化总量为 3453450；

n = 4 ， 可能变化总量为 164038875；

n = 5 ， 可能变化总量为 5019589575；

n = 6 ， 可能变化总量为 100391791500；

n = 7 ， 可能变化总量为 1305093289500；

n = 8 ， 可能变化总量为 10767019638375；

n = 9 ， 可能变化总量为 153835098191875；

n = 10 ， 可能变化总量为 150738274937250；

n = 11 ， 可能变化总量为 205552193096250；

n = 12 ， 可能变化总量为 102776096548125；

n = 13 ， 可能变化总量为 7905853580625。

——看看，虽然这连接板长的不好看，可要说它相当强悍，却也并非言过其实啊。

观察上面结果，我们会发现一个似乎有点不合情理的现象——当n取11时，连接板能提供的变化达到了登峰造极的程度；再继续接插，变化总量反而会减少……

为什么呢？为什么呢？

此外，当n取12时，连接板上只剩下最后两个字母未被连接。粗粗看来，这时候无论再怎么连，结果应该也不变——换言之，n取12，和取13时，结果应该是相当的。可是，根据公式算出的结果，却显然不是这样。

这又是为什么呢？为什么呢？

再说句题外话吧。1001n所能查到的资料，要么直接给出个数字，要么直接给出个错误公式——别笑，至少有三种文献给的公式都在某个地方少了个n；更有甚者，直接用组合相乘计算，即（26选2）乘以（24选2）乘以（22选2），直到最后2选2为止……总之，如果从资料上一抄了事，那么这里提供的结果只能是1001n最先看见的那一个，也就是令人肃然起敬四方虚空的那个了，呵呵。

说实在的，这连接板能提供的变化无论怎么算，都是个极为庞大的数字。那么，非要精准地得知到底是几，有没有意义呢？

我个人认为，结果究竟是234567还是4567890，其实都没什么区别；但是，如何正确求出这个234567或者4567890，才是真正有意义的地方——比如说，有资料给出的公式就很搞笑；插上一根线，结果是对的，再插上第二根就完全错了……如果不去仔细分析计算的思路，当五花八门的答案都出现在自己面前的时候，随便挑一个自己看得顺眼的列上来，估计兄弟们也未必会认真复核——也就蒙混过关了，呵呵。

但是我始终觉得，这个系列的写作，绝对不是一个卖弄和表演的机会，而是一个自我学习的过程。我也一直认为，这个学习的过程很快乐——ENIGMA在这里，更象一个思维游戏；而且以我并不很高的智力来说，它的挑战性很强，也很有意思。

我本人的数学一塌糊涂，以上的分析过程，怕是要让各位擅长理工的兄弟暗笑不已：如此罗嗦，三两行解决的问题，非要写三两千字，真是拖沓得可以——但是，昨天不懂的问题，今天懂了，我还真是很高兴；也愿意献丑，把自己的心得和大家分享。

以前有兄弟抬举我，说我是什么什么“牛人”。现在大家怎么也该看出来了，1001n就是个很一般的人。以上这些，其实任何一位兄弟真有兴趣的话，都会研究出来，而且很可能比我写的更好。因此，大家多写写吧，科学技术，好像真没那么可怕——连我这样的都能写这么多，何况各位兄弟了，呵呵。

拉回来，继续说为什么n取12，和13时结果不同吧。最最简单的一个解释是——虽然这个解释1001d整整想了半个小时，而1001n连想都没想出来——当n取13时，所有的字母均被配了对儿，一切可能的变化都最终明晰了；而n取12时，这个结果却没有那么明晰，因此可能性要多——这句话不好理解，我们还是举例吧：

假设我们按以下最简单的规则配对，即：

A-B，C-D，E-F，……W-X，Y-Z

现在，令n=12，也即配12对，并空出最后两个字母Y和Z不连接，即：

集合1 = { A-B，C-D，E-F，……W-X }

这是一种连法。之后，再设置另外一个连法，就是空出头两个字母A和B不连接，而把剩余的24个字母分别配对连接起来，即：

集合2 = { C-D，E-F，……W-X，Y-Z }

显然，这是不同的两种变化，即：

{ A-B，C-D，E-F，……W-X } ≠ { C-D，E-F，……W-X，Y-Z }

在此基础上，我们再把第13根线，也就是最后一根线连上。这就是说，当n=13的时候，所有字母都将被连上——上面所说的集合1里，空出的字母Y和Z将被连上；集合2空出的字母A和B也将被连上。结果，自然是下面这样的：

集合1 = { A-B，C-D，E-F，……W-X，Y-Z }

集合2 = { A-B，C-D，E-F，……W-X，Y-Z }

显然，

集合1 = 集合2

这就意味着：在连通12对字母的变化基础上，再连通第13对字母，必然将出现重复计算的情况；在本例中，本来关系“暧昧”的Y-Z和A-B，由于连通后变得“清晰”，导致最终集合相等——而相等的集合只会被公式计为一次，从而使重复的情况被排除。

扩展开说，n取12时，用公式计算的结果，正好是n取13的结果的13倍。这个又是为什么，也请各位兄弟做回脑力体操吧：）

至于n取11的结果比n取12要大，其实倒不难理解。仔细观察公式

26!

变化总数 = -------------------------

n

( 26 - 2n )! 2 * n!

就会发现，分母的大小，跟n实在是密切相关。由于公式参数已定，形式已定，n取11时公式的结果将出现极大值，倒也不是很难理解的问题，呵呵。

这个结果也告诉我们，对于ENIGMA而言，最棒的选择应该就是连接11对字母——而当年的德军却往往并非如此：他们经常是连接上所有的字母对，也就是把13条连线全用上。

从道理上讲，无论是连13对，还是连12对或11对，其变化都是个非常庞大的数字，其中的差距只有用纸和笔才能算清楚。如果脱离这个对于理性思考最重要的工具，只是靠感性泛泛去“估计”和“判断”出个正确的结论，即便不是不可能，起码也是非常困难的。我想，这大概就是为什么德军会选择插接全部13个字母对最根本的原因——很有可能，他们根本就没仔细算过到底交换多少字母对，才会给敌人造成最大的麻烦；进而，也就“跟着感觉走”一般地用上了全部连线。

不过，连13对字母也还不是很差的选择。

首先，从上表中我们虽然可以看出，连接13对字母以后，连接板的变化将减少为11对的二十六分之一；即便如此，这时它所能提供的7905853580625种变化，也绝不是个小数字了。。

其次，德军常常使用13对连线而不是只使用13对连线，倒也有个不错的结果，那就是：无法使敌方密码分析人员在公式中“固定”这个连线数量。从道理上讲，虽然常常是交换13对，但是也许有时就只交换8对，有时候就交换10对；这样，敌人在破译的时候，还真不能只考虑某种固定的连线数量——比如13——于是使破译工作更加麻烦。

饶是如此，连接板在使用的时候还是有纰漏的：且不说交换13对字母，本身已经削弱了反射板的加密潜力；更让人哀其不幸怒其愚昧的是，德国人大概是唯恐敌人破不了自己的机密，又自废武功地制定了使用时的规则：连线时，不能选择相邻的字母。所谓相邻，指的是按字母表顺序，前后相邻的字母——这就是说，字母B既不能连接A，也不能连接C；字母K既不能连接J，也不能连接L。

老实说，如此规定倒也不全是没动过脑子的——他们认为，这样连接的话，会给对手提供某种令人不放心的可乘之机；虽然不知道对手会用什么方式利用这样的可乘之机，但是还是从制度上消灭了它比较好——从道理上说，德国人的担心好像也不能简单说成是杞人忧天。

但是，历史一再告诉我们：好的动机未必一定导致好的结果。德国人这么一规定，东边倒是不出太阳了，西边可就下起瓢泼大雨了——诸如A-B，B-C，K-J等等这样的交换组合，现在已经是不可能出现的了。

不可能出现，自然就意味着这样的情况可以直接排除！

盟军的分析专家们当然不会放过这个密码学意义上的漏洞。其一，这样本身就减少了因连接板导致的变化数量，让计算变得更加容易一些；其二，在利用种种手段破译出密钥后，当分析专家反过来推算当天ENIGMA机器设置时，如果推算出连接板上出现了相邻字母被两两互换，那么肯定就是算错了——就这样，德国人又慷慨地送上了一份供对手验算破译结果的礼物！

就这么着，连接板继反射板之后，成为了第二个可以部分地判断密文正误的根据。。

写到这里也有点想笑：密码机这东西，看起来神秘和强大的不得了，但是实际一用起来，居然就会出现可以用来验算破译结果的特征，而且还不止一个——如果不是ENIGMA的机理及使用规则确实如此，说出去又有谁信呢。。

不过，尽管德国人制定了愚昧的规则，这连接板依然绝对不是ENIGMA的败笔——相反，如果没有它的话，ENIGMA或许早就被敌方的数学家击败了。正因为它的存在，使ENIGMA在转轮组提供的多表替代加密之上，又复合了单字替代的大锁，使得那些可以用来分析多表替代的路数，在ENIMGA面前变得毫无用武之处。

连接板的出现，使转轮组“安全”了；而转轮组，反过来又保证了连接板的“安全”——那些能够对付单字替换的路数，现在也不灵了！

这也提示我们：

至少在古典密码体系下，若要获得更大的安全强度，多种不同结构的复合加密应该比多次同类加密更可取。

关于连接板，就分析到这里吧。同时，对于整个ENIGMA的加密系统的介绍，也就全部结束了——这一路上拆出了这么多零件，也难为各位坚持观看了，呵呵。

不过，光有这么一堆乱七八糟的零件，也是没法工作的。那么在下一节，还是让我们打开管状视野，来看看全豹吧。

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