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主题:【文摘】经典悖论(上) -- 天地无用

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家园 【文摘】经典悖论(下)

这是第三部分:由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。

(五)由前提不自洽导致的悖论

  这里我们将看到,前提不自洽,结论就无法自圆其说,甚至荒谬或没有结论。

5-1“罗素是教皇”

  从单纯的逻辑上来讲,荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论,哪怕推理过程

无懈可击。有人曾经让罗素证明从“2+2=5”推出“罗素是教皇”。罗素证明

如下:

由于2+2=5,等式的两边同时减去2,

得出2=3;两边同时再减去1,

得出1=2;两边移位,

得出2=1。

  教皇与罗素是两个人,既然2=1,教皇和罗素就是1个人,所以“罗素就是

教皇”。

  这个荒谬的结论,就是由一个荒谬的假设引发出来的。

5-2“亚里斯多德是类概念”

  这是严格按照三段论推导出来的结果。请看:

(1)亚里斯多德是哲学家,

(2)哲学家是类概念,

(3)所以,亚里斯多德是类概念。

  亚里斯多德(Aristotle,公元前384-前322)是希腊大哲学

家和天文学家,曾就学于柏拉图,继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系,在西

方的影响最大。他系统总结了三段论法原理,奠定了逻辑思维的基础。

  上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义

悖论”。因为语句(1)中的哲学家和语句(2)中的“哲学家”不在一个层次

上,前者是对象概念,后者是元概念。两个前提内涵不一致,结论就荒谬了。从根

本上来讲这不是一个语言或语法问题,而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在30年代

提出“语言层次论”来,就一直受到人们的关注。

5-3自相矛盾

  这个例子正相反,是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。

  《韩非子?势难》介绍了这个预言:有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾

最坚固,无论什么东西都戳不破;接着又夸他的矛最锐利,无论什么东西都能刺透。

旁人问他:如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果,他回答不上来,因为两者相互

抵触。这是一个既不可以同时为真,也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾,也

就无法推出结论。

5-4纸牌悖论

  纸牌悖论就是纸牌的一面写着:“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写

着:“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Jourdain提出来的。

我们同样推不出结果来。它最简单的形式是:

5-5“悖论元”

下面这句话是对的,

上面这句话是错的。

这也是一个有名的悖论,叫乔丹真值(Jourdain Truth-Va

lue)悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。

5-6“先有鸡,还是先有蛋?”

  这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱,需要实际的考证,如考古学和生

物学的研究成果等,才能打破这一循环。

  它里面也隐含着一个不相容的前提假设:“鸡是由蛋孵化出来的,蛋又是由鸡

生出来的。”单独来看都符合日常观察,但合在一起却是一对不自洽的假设。

5-7“如果说上帝是万能的,他能否创造一块他举不起来的大石头?”

  这是一个流传很广的悖论。如果说能,上帝遇到一块“他举不起来的大石头”,

说明他不是万能;如果说不能,同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。

  这个“全能者悖论”的另一种表达方法是:“全能的创造者可以创造出比他更

了不起的事物吗?”

5-8“你会杀掉我”

  这个故事有几个版本。大意是说:一夥强盗抓住了一个商人,强盗头目对商人

说:“你说我会不会杀掉你,如果说对了,我就把你放了;如果说错了,我就杀掉

你。”商人一想,说:“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。

  推理一下:如果强盗把商人杀了,他的话无疑是对的,应该放人;如果放人,

商人的话就是错的,应该杀掉,又回到前面的推理,这是一个悖论。聪明的商人找

到的答案使强盗的前提互不相容。

5-9“你会吃掉我的孩子”

  这个例子与上面的例子逻辑同构。

  一条鳄鱼抢走了一个小孩,它对孩子的母亲说:“我会不会吃掉你的小孩?答

对了,孩子还给你;答错了,我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案:“你会

吃掉我的孩子。”

5-10两小儿辩日

  这是《列子》里的一则预言:孔子遇到两个小孩在争论,一个说:“日出时,

太阳距离我们近,中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮,中午小得像盘子。

这不正是近大远小吗?”另一个却说:“日出时,太阳距离我们远,中午距离我们

近。因为日出时我们不觉得热,中午却非常热。这不是近热远凉吗?”孔子不能答。

  这是今天的一个科学常识问题,但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看,这

里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前,应该搞清楚

哪个标准更准确,或者都不准确。

5-11爱瓦梯尔应不应该付学费?

  传说古希腊人爱瓦梯尔(Eulathlus)向普洛太哥拉斯学习辩术(另

有一说是学习法律)。他们的约定是:爱瓦梯尔先付一半学费,另一半学费等学成

后在第一场辩护胜诉时再付,如果败诉,则学费不必再交。   

  但是爱瓦梯尔毕业以后,没有担任辩护工作,不打算交另一半学费。

  普洛太哥拉斯准备告他,说:“如果我胜诉了,法官会判你付我学费;如果我

败诉,根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说:“如果我胜

诉,法官也会判我不付学费;如果我败诉,按照约定我也不必付另一半的学费。总

之不付。”(见王九逵《逻辑与数学思维》)

  这个问题反过来看,逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说:“如果你告我,

我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去

不可能有结果。

  这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解

决他们的纠纷,这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一

个进行最终裁决。

5-12梵学者的“预言”

  和上面的例子完全类似,这是一个梵学者(印度的预言家)的女儿用悖论来为

难她的父亲的故事。

  女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说:纸上写的可能发生,

也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”,反之就写“不”。

  梵学者写下他的预言“是”,女儿拿出水晶球下面的纸,念到:“你将写一个

‘不’字。”学者错了。实际上,他写个“不”字,也会错,因为预言已经发生了。

  女儿的“不”有两重含义,它一方面与字面上的“是”相反,另一方面与实际

上的“不”相反,双重标准。由于没有事先界定,梵学者也可以反过来和他的女儿

作无限的争论。

(六)由权变遭遇的悖论

6-1阿雷斯(Allais)悖论

  下面两个式代表你将获得的收入,X是一个不定的量,你将选择哪一个,S1

还是S2?

(1)S1=0?9X+$100,000

(2)S2=0?89X+$250,000

  显然,最好的选择取决于X是多少。

当 =$15,000,000,S1=S2=$13?nbsp;600,000

当X〉$15,000,000,S 〉S2

当 〈$15,000,000,S1〈S2

这个悖论对决策理论有较大影响。

6-2纽卡(Newcombs)悖论

  这也是决策理论中的一个。有两个盒子A和B放在桌子上:

A是透明的,可以看见里面有$1,000,

B是不透明的,上面写着或者是$1,000,000,或者是0。

  你可以在下面的两种选择中,只能取一个(1)或(2):

(1)只选择B

(2)A和B两个都选

  你会作出什么选择?

  有一个教授曾经作过一个实验:他让1000个学生选,其中999个学生选

择了(1),只有1个学生选择了(2)。而这999个学生一人只获得$1,0

00,而那1个学生却获得了$1,000,000。为什么呢?因为这个教授事

先已经作了预测,并作出这样的安排:

如果选(2)B盒子里就不放任何一分钱,

如果选择(1)B盒子里就放$1,000,000。

  而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果,重新再

选,会选哪一项。注意,这一回,教授可能又作出了新的预测。

6-3谷“堆”的定义

  如果1粒谷子落地不能形成谷堆,2粒谷子落地不能形成谷堆,3粒谷子落地

也不能形成谷堆,依此类推,无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。

  从真实的前提出发,用可以接受的推理,但结论则是明显错误的。它说明定义

“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理,在一个前提的连续积累

中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限,解决它的办法就是引进一

个模糊的“类”。

  这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubuli

des,后来的怀疑论者不承认它是知识。“soros”在希腊语里就是“堆”

的意思。最初是一个游戏:你可以把1粒谷子说成是堆吗?不能;你可以把2粒谷

子说成是堆吗?不能;你可以把3粒谷子说成是堆吗?不能。但是你迟早会承认一

个谷堆的存在,你从哪里区分他们?

  它的逻辑结构:

1粒谷子不是堆,

如果1粒谷子不是堆,那么,2粒谷子也不是堆;

如果2粒谷子不是堆,那么,3粒谷子也不是堆;

---

如果99999粒谷子不是堆,那么,100000粒谷子也不是堆;

------------------------------------

因此,100000粒谷子不是堆。

  按照这个结构,无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的

话题(见《不列颠百科全书》)。

6-4秃头的定义

  这也是连锁悖论中的一例,和上面的游戏完全一样。最早叫Falakros

谜:

  你可以把只有1根头发的叫秃头吗?能;你可以把只有2根头发的叫秃头吗?

能;你可以把只有3根头发的叫秃头吗?也能。但是你不会把有一万根头发的人

叫秃头。你从哪里区分他们?

6-4“一整袋谷子落地没有响声”

  在古希腊,还流传着这样一个故事:如果1粒谷子落地没有响声,2粒谷子、

3粒谷子落地也没有响声,类推下去,1整袋谷子落地也不会有响声。

  响声是由振动引起的,1粒谷子落地可能引起的振动太小,人耳听不到,但是

用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大,人耳自然就可以听得到了。

  应该注意,古希腊辩论家的用意不在于此,他们并不是真的要探讨事实,而是

试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系

列,那么其间也会有一个变化的模糊区域。

6-5预料之外的绞刑时间

  这个悖论在英语里叫“Parad ? of the Unexpecte?

Hanging”;最早从口头传开是在本世纪四十年代。

  一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布:“绞刑时间将在下一周七天中的某一天

中午进行,但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道:“我

将不可能在下个星期六赴刑,这是最后一天。因为星期五下午我还活着,那么我知

道星期六中午我一定被处死。但是,但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推

理,他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此,法

官的判决将无法执行。

  这种连锁悖论式的推理并不难理解,法官的判决可以在下个星期六以外的任何

一天被执行,囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论

的结构完全一致。

6-6“卵有毛”

  惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛,惠施却反对。

  辩者说:“如果鸡蛋里没毛,那么孵出来的小鸡怎么身上有毛?”惠施说:“

鸡蛋里只有蛋清和蛋黄,没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了?小鸡身上的

毛是小鸡身上的毛,不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。

  辩论双方都以?nbsp;眼见为实”做标准,从而忽视了从没?nbsp;毛到有毛的转化过程。

不知道生物学对此会作出什么解释,从方法上来讲,他们没有界定毛从无到有的界

限,似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。

6-7宝塔从有到无

  这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔,如果从下面抽走它的砖,一

块一块地抽,这是量变。当到达一定的度时,宝塔倒塌了,发生了质变,说明宝塔

没有了。我们可以看到一准确的“度”。

  但是现在从上面拿走它的砖,一块一块地抽,这也是量变。直到拿完,宝塔不

存在了,发生了质变,但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度”

了。

6-8孪生子佯谬

  这是一个与相对论有关的悖论(Twin Paradox)。

  爱因斯坦的成就之一,就是引进了一个定律,用C表示恒定的真空光速,把它

纳入自然常数之列,作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定,引出了相对论

的两个著名的“佯谬”,它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。

  “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟,比静止参考系中的钟走得

慢。根据这一结论,我们可以得出这样的一个结果:一个乘飞船按接近光速的速度

在太空旅行的人,当他返回地球的时候,就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因

为他的生物钟,比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光

速的速度。

  在1905年,爱因斯坦的狭义相对论确立以前,牛顿定律是速度远远小于光

速条件下的定律,机械自然观统驭着人们的空间想象,因此无法解释这一现象。爱

因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的,它取缔了牛顿“绝对时间”的概念,使

“绝对运动”概念也失去了立足之地。

6-9“会变的尺”

  这是相对论引出的另一个“佯谬”:一把快速运动着的尺子,它和静止状态相

比,在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的,后来形成

了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为,这种收缩可以用两个参考系之间存在着

的相对速度来解释(见聂运伟编著的《相对论的摇篮:爱因斯坦传》)。

6-10夜空为什么是暗的?

  这是有名的奥伯斯(Olbers,Heinric 琛 Willhelm)

悖论:如果空间无限延展,而且星体均匀分布,我们的任何视线都应该碰到起码一

颗星球。那么,天空不是应该一直都是明亮的吗?这个结论显然与事实不符。

  这个问题早在1610年开普勒就注意到,直到1823年德国天文学家奥伯

斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测,如宇宙只有有限的星体、星

体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少,遥远的光还没有到达地球等等。“大

爆炸”理论出现以后,宇宙的年龄不是无限的,被人为是一个最重要的原因。从“

大爆炸”开始算起,宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将

光充满夜空(《星期日电讯》1997年10月5日)。

后记

  本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学

的快速发展,又有不少新的悖论大量涌现,人们在孜孜不倦地探索,预计他们的成

果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见,错误难免,

希望读者批评指正。


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