主题：俺十岁时琢磨出来的一个算术方面的小规律... 看看哪位能给证明一哈？ -- 煮酒正熟

等于满足了结合律。比如定义这个运算为P,X Y为任意两个自然数，

P(X+Y) = P(X) + P(Y)

如果满足，那么一切问题都简单了。比如自然数A，B总能分解为一个9的倍数和一个小于9的自然数之和，

A = a*9 + p, p<9

B = b*9 + q, q<9

A*B = C

P(A)*P(B) = P(a*9 + p) * P(b*9 + q)

= (P(a*9) + P(p)) * (P(b*9) + P(q))

计算过程比较复杂，这里忽略。但是P(p) = p, P(q) = q, 而且任何9的倍数算到底都是9。这个运算有个容易被忽略的性质，不自觉地就在继续。很容易得出

= 9 + pq

注意，这仅仅是个中间结果。这个结果实际等同于

= P(9 + pq)

回头看C，显然，

C = a*b*9*9 + a*9 + b*9 + pq

P(C) = P(a*b*9*9 + a*9 + b*9 + pq) = P(a*b*9*9 + a*9 + b*9) + P(pq) = 9 + P(pq)

= P(9 + pq)

两边一起接着算下去，当然相等了。