主题：【原创】今天的数学（系列） -- qiaozi

1.2.3 数数素数有多少之其实也没多少之老少对决篇（二）

第一章　素数

第二节　数数素数有多少

第三段　其实也没多少

第一股　老少对决（续）

很久很久以前，我们讲到Ｌｅｇｅｎｄｅｒ于１７９８年在《数论随笔》（Essai sur la Théorie des Nombres）一书中提出了一个看起来很精确（虽然很不美）的关于素数个数的估计。如果我们记π(x)为比x小的素数的个数，那么Ｌｅｇｅｎｄｅｒ同学猜测

π(x)≈x/(ln x-1.08366)

当时这是第一个关于素数个数的定量估计，所以他就很兴奋地把这个猜测放到了１８０８年出版的专著《数论》（Théorie des nombres）第二版中（这也是我为什么在上一篇文章中错把他提出这个猜测的时间当成１８０８年的原因）。

他当然有理由高兴，因为这本专著的第一版于１７９８年出版以后，其中的一个重要结果（二次互反律，我们很久很久以后将会提到）的证明被发现是不严谨的。１８０１年，一个２４岁的年轻人，一个后来上了１０马克钞票封面的年轻人，一个让后人敬仰、让同时代数学家们抓狂的年轻人，一个唤作高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）的年轻人，严厉地指出了证明中的错误，并且给出了第一个正确的证明，并且心安理得地把这个结果纳入自己的囊中而不提Ｌｅｇｅｎｄｒｅ的功劳。可以想象，一个４９岁的著名数学家对此是如何的受伤。若干年之后，Ｌｅｇｅｎｄｅｒ写道：“这个人的厚颜无耻令人难以置信，他学富五车，完全不需要剽窃别人的发现。”（This excessive impudence is unbelievable in a man who has sufficient personal merit not to have need of appropriating the discoveries of others.）所以，Ｌｅｇｅｎｄｒｅ在１８０８年第二版中引用自己关于素数个数的定量估计，也是为了显示自己在数论上的成就。

高斯大概真是这位法国数学家的死对头。１８０６年Ｌｅｇｅｎｄｒｅ曾兴致勃勃地发表了线性拟合中的最小平方法，不料１８０９年高斯在一部著作中提到自己曾在１７９４ 年就发现了同样的方法。这次素数个数的定量估计也没能逃出这个怪圈。１８４９年高斯在给朋友的一封信里面提到，自己在１７９２－１７９３年期间（顺便说一句，高斯是１７７７年生的）无聊的时候曾经就挑出１０００个连续的自然数数其中素数的个数，并且从中发现在x附近素数分布的密度大约是1/ln x。例如，如果我们考虑10000附近的素数，那么素数的密度就大约是1/ln(10000)。知道了密度算质量（这里的“质量”就是素数个数），我们应该用密度乘以长度，或者更一般的用密度的积分表示。所以高斯的发现就是小于等于x的素数的个数大约是

其中右边的积分有一个特殊的名字，叫做对数积分，通常也记作Li(x)。从这里很容易可以看出来，Ｌｅｇｅｎｄｒｅ同学的估计只是高同学的公式的一个（不很精确和不很正确的）近似公式。

你大概会想Ｌｅｇｅｎｄｒｅ这下又该郁闷死了吧。错！也许他的数学不能与高斯这个不世出的天才相比，但是他有一个最大的优势是高斯拍马也追不上的——年龄。Ｌｅｇｅｎｄｒｅ赶在１６年前于１８３３年去世，以最有效也最无奈的方式回应了这又一次打击。所以Ｌｅｇｅｎｄｒｅ这下死了，但是没有“又郁闷”死了。

Ｍｕｓｉｃ！

不过，为什么高斯一直没有发表他关于素数个数的结果呢？中间的原因我们自然可以作各种猜测，但是回头看来原因之一可能是当时的素数表还不够大。据说高斯自己为了打发时间而作的那些努力最终可以给出大至三百万的素数表，但是即使这样我们仍然有π(3000000) ≈216816，即小于三百万的素数有216816个，而根据高斯的猜测算出来的估计是

Li(x) ≈216971

作为比较，Ｌｅｇｅｎｄｒｅ的估计是216912，显然更精确一点。在这种情况下，贸然提出自己既不更精确又没有更多理论支持的估计显然不是高斯的风格。当然，他一定也选取过１０００个连续的很大的自然数去计算素数的密度，以便证明给自己。即使如此，高斯的估计终归在理论上是不能让人信服的，虽然它比Ｌｅｇｅｎｄｒｅ的那个1.08366好看多了。

今天，当我们有了计算机可以计算很大的素数表的时候，高斯估计的优越性就充分显示出来了。例如，我们还是考虑小于４百万亿亿的素数个数。前面提到，一共有大约7.839万亿亿（783964159852157952242）个素数小于四百万亿亿，而高斯的估计给出的大约是783964159852157952242.7。眼神好的同学可以比较一下它们的差别。

尽管高斯的估计是如此精确，它的证明却很不容易。没有证据表明高斯自己知道怎么证明它，似乎也没有人知道，直到高斯的一个伟大的学生当上了德国科学院院士……

敬请期待下集

第二股　一战成名