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主题:【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

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家园 【原创】千奇百怪话分形——曼德尔布诺特集(上)

已经说了关于分形的这么多内容,我们要归纳一下分形的特点:

1. 分形有无限精细的结构。也就是说,无论我们把分形的图形放大任意多倍,还是有比当前尺度更小的细节存在。

2. 分形很难用传统的几何语言描述。举个例子,二次曲线和圆都可以用平面坐标的方程来描述,但是科赫曲线就没有办法找出相对应的方程式。

3. 分形有精确或近似的自相似形式。这个特性之前已经讲过了。

4. 分形的维数大于其拓扑维数。这个实际上是分形的定义。

5. 分形通常可以由简单的方式生成,比如说迭代。

现在,我们进入了分形的重头戏——曼德尔布诺特集。从名字上我们就可以看出它在分形中的重要地位:它是以分形之父曼德尔布诺特的名字命名的。

其实曼德尔布诺特集并不是曼德尔布诺特首先发现的,只不过他最开始比较有系统地对这个图形进行研究而已。我们先给出一张曼德尔布诺特集的全景照:

需要说明的是,这里有关曼德尔布诺特集的图片都是我自己写程序生成的,不过我总是调配不好颜色。不过好在需要涂颜色的部分都是曼德尔布诺特集的周边,曼德尔布诺特集本身习惯上是表示成黑色的。所以虽然颜色会有些怪,而且不够好看,但是对于讲解来说是够了。

我们把曼德尔布诺特集生成的方法放在最后面讲,先看看它的一些有趣的特性吧。

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曼德尔布诺特集从整体上看,是由不规则的一大一小两个圆和周围的一些复杂结构构成的。严格地说,左侧小一点的图形的确是一个接近圆的东西(如果不考虑周围的毛刺的话),而右侧的大一点的图形应该叫做心脏线,因为看起来有点像一个躺下来的心形图案。如果你有两个大小相等的圆,其中一个不动,而另一个紧贴着不动的圆无滑动地旋转(就象两个齿轮),那么外侧的圆圆周上的一点就会画出一个心脏线的轨迹。

接下来,我们要看周围的那些“毛刺”了。首先为了方便起见,我们加一些数字标记。大的心形图案标记为1,小一点的圆形标记为2。先从最大的心形图案看起。最显眼的就是上下两个长“触角”的圆了。把它们标记为3。我们从上面这个圆往右边数,次大的标记为4,在往右数次大的依次标记为5,6,7等等。就像下面这样:

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标记完了有什么用处呢?现在我们把3和4放大看看:

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有趣,3上顶着一个三叉的触角,4上顶着一个四叉的触角。那么5,6和7是不是也一样呢?我们再把那里放大一下。这个是5

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这个是6和7

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看起来触角依次增多,到后来会很多很多。现在我们看一个二十四个触角的图

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颜色上看起来比较杂乱,不过还是很象文章最开头贴过的一张

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现在从标记为3的圆向左数,触角数目依次为5个,7个和9个,变成以二递增。

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再单独看看标记为3的圆,周围又有一圈更小的圆围绕着,我们把它放大一些,再数数这些小圆的触角,奇怪的是,它们不增多,统一都是3个。

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同样,五个触角的圆周围的小圆触角也都是5个,不过都已经卷成花儿了。

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你问我说了半天触角,要这些触角有什么用?这个……拿回家做菜吧。我们又不研究数学,看这些图不就是看个热闹么。其他的热闹咱们以后再说。

关键词(Tags): #曼德尔布诺特集#分形元宝推荐:爱莲,
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