主题：【原创】说说乘法和除法 -- 荷子
家园 【原创】说说乘法和除法 一家之言，继续不自量力的在龙门八卦数学
大家还记得怎么“学会”乘法和除法的吗？九九表？列竖式？试除？
问题是，怎么教会小朋友呢？要知道，人都是自己学会的而不是教会的啊
其实，就像自然数本身兼具了基数和序数的深刻性之外，乘法和除法，也很深刻
想到这个问题，是因为看到松鼠会最近有一篇介绍乘法的文章外链出处，恰好河里也有一篇谈到这个问题链接出处，
究竟什么是格子算法？比我们的竖式算法是麻烦还是新颖，甚至深刻？先看看这个图
外链图片需谨慎，可能会被源头改还有这个视频
[FLASH]http://v.blog.sohu.com/fo/v4/999689[/FLASH]
不少同学说了，这不和竖式一样吗？
是差不多，但是细节是魔鬼啊
格子算法的优点，首先是大大减少对错位，忘记进位的可能等等
更重要的，是体会复杂问题的分解，体会程序化，体会算法
最重要的，是图形化（这个话题很大），是让孩子觉得好玩
当然，其实竖式是格子算法的进化，或者说简化，但是，无论对于孩子还是我们，从所谓“复杂”的格子算法到竖式，和从竖式到格子算法，感觉肯定不一样吧（其实看看不少河友的回复就知道）
关于图形化，推荐一本书
外链图片需谨慎，可能会被源头改里面讲到的教学例子很有启发性，要知道，让孩子自己发现规律，是很有成就感，很能激发他们对数学乃至自然科学的兴趣
一句话，就是陈省身说的
外链图片需谨慎，可能会被源头改关于乘法，最后再给一个不需要九九表的视频吧
[FLASH]http://video.pomoho.com/swf/out_player.swf?flvid=3781976[/FLASH]
其实，为啥是九九表？这个问题就很深刻
记得小学的时候在这本书看到过八进制的七七表
外链图片需谨慎，可能会被源头改至于除法，是看到不爱的“无知者无畏”
，就说一句吧，无理数irrational number，可不是无理取闹的数，它的定义就是“无法公度的数”，或者说“除不尽的数”呢，这个话题就更大了先八到这里
关键词(Tags): #鹿透社八卦数学， 元宝推荐：抱朴仙人,马鹿, 通宝推：jboyin,季侯,神仙驴,sneer,非吾有,钓者任公子,梁东,希宝,r33300,jufeng,
本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)家园 荷子，该你啦 http://www.ccthere.com/article/3182347
家园 文章和议论都很精彩！ 1、学习了，很好玩的铺地锦。铺地锦算法在中国不受普及是有原因的，而这就是中国算术超越或者说区别于西方算术的原因所在。中国算法一向强调寓算于理，或者叫寓理于算，在解算的过程中清晰地展现演算的思路，这样人不至于堕落为可执行的电脑。而铺地锦是一个不容易出错的算法，但算法的思路并不明显，其长处在于算法的可操作性，和后来电脑算法的基本思路一致，电脑并不理解算法，但电脑可以无误地执行算法。我会教我小孩铺地锦以增加学习的乐趣，但同样会提醒这个算法用多了头脑和思路有损失，虽然结果容易做对。
2、无理数是在人受到限制的认知条件下的无理，实际上均可在数轴上精确定位（窃以为，无证据，很主观，免诤论），实数的发现的历程表明了人不断突破自己思维局限的努力和成就。讨论中已经有高人将根号2和pai的长度清晰地表示在了数轴上，说明这类数本身并不无理，是我们可怜的头脑无法精确定量，所以认为其无理。哪位达人能否在数轴上表示一下常数e？谢谢
家园 谢谢 相同的不说了，只说不同的
我认为对孩子来说学了格子算法再学竖式应当没有问题，不会陷于格子算法
无理数这个名词是翻译的，ratio这个词既是“比例”又是“理性”，原意是前者，翻译过来好像成了后者
任何一个无理数都可以精确定位，参见戴德金Dedekind 分割外链出处
戴德金分割
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:
A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。 B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数。B是所有≥1的有理数。 A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。
第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。
前面2种情况中，分割是有理数。
这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。
此外，“精确定量”究竟指什么，如果是指确定的点，那么所有的无理数都可以精确定量，如果是指有限次尺规作图，那么无理数又可以分为两类——代数数（如根号2甚至更复杂的）和超越数（无法用有限次代数运算表示的数，第一个超越数是刘维尔数，最著名超越数的就是pai和e，还有大量的对数），超越数是肯定不能尺规作图的，所以pai和e都不能尺规作图（不过并不是说代数数就一定能尺规作图，例如2的立方根参见外链出处）
无理数远远多于有理数，超越数远远多于代数数
家园 无法公度不是除不尽 所有除不尽的都可以用分数表示。所以是可以“公度”的。不可公度的数从高等运算，象开方,对数之类的。简单的说是无限不循环小数。最常见的是圆周率，自然数（e),２的平方根，立方根，等等。
家园 多谢指正 写到凌晨短路了。您和楼下南京兄都看得仔细，不改是为了留个靶子
家园 胡侃一下，博取一笑 我觉得这个计算乘法的方法与竖式算法的主要区别在于：把本来需要心算的进位完全用笔算体现出来，减少了心算过程，也就减少了犯错误的可能性。不过代价就是要画图，浪费时间。以前老师们会教小孩子在进位的时候加脚注，同样达到这个目的，而且不花多少时间。从这个意义上讲，这个方法有点鸡肋。
家园 说得有理 减少进位的遗漏和对位的错误是格子算法的优点
我猜想对古人来说，多位数乘法可以算比较专业的东西了，所以不怕浪费画图的时间，
松鼠会的文章最后说刻章或者印练习本，电脑上做到这个就更容易了
- 复 说得有理
家园 【商榷】这么说貌似有些低估古人了 祖冲之那个时候就能把圆周率算到小数点后7位，反正目前为止我还没这个道行能算到哪怕第三位……
我觉着主要是知识刚开始积累，所以独创性也就比较强。就像咱们现在大家都觉着是常识的东西了，那个时候都还没标准化，所以奇思妙想就比较多。只有这些奇思妙想多到一定程度了，大家经过对这些办法的汇总比较得出一个最方便的固定下来。也就是说，咱们学的都是固定下来之后的结果。
估计这个办法就是哪位古人在不知道这种最优途径的前提下自创出来的。不得不说此人很聪明。如果让我不让用竖式算法，自己想个别的办法算乘法，我还真想不出来。
家园 哈哈，那句是玩笑 忘记加上表情了
圆周率的算法，课本(小学还是中学忘记了)上有类似刘徽的割圆术的步骤外链出处
还是很朴素的想法，当然也很棒，老兄肯定能算到不止三位，据说祖冲之也是这个方法
此外，我认为竖式是格子算法的进化，所以古人不是另外想出来的
- 复 哈哈，那句是玩笑
家园 我不是谦虚，是说实话 圆周率的计算方法现在是常识了，不知道那个时候人们是怎么做文献综述，然后取个最优的方法出来的呢？那个时候可没google、百度之类的东西啊。
我可不是谦虚，是的确觉着没谱。因为如果让我用这个办法算，我能想到的办法就是用余弦定理之类的东西（数学就那么点底子了）。可是那个时候别说余弦定理，就是连个三角函数表都没有吧。如果这些东西都不让用……
我的意思是，竖式算法的出现至少不早于格子算法，经过比较后格子算法被抛弃了，有点像前几年那个农民造出来的飞机，除了锻炼一下自己的动手动脑能力实际上没什么用处。当然，数学本身一大功能就是“头脑体操”……
家园 古代信息的传递确实没有互联网时代快捷方便 但人类的知识仍然是代代薪火相传的——语言，文字，纸张，书籍等等，否则短短的人生是无法达到阿基米德牛顿的高度的
割圆术可以不用三角函数，只需要开方（这个古代也是有算法的），当然，勾股定理的另一个名字就是商高定理，历史也很悠久了
家园 好象无理数不是“除不尽的数”吧？ 1／3也除不尽，但不是无理数。
俺的理解是无理数是无法在数轴上确定准确位置的数，换一种说法是无法算出准确数值，只能得到近似的数。或者说是无限不循环小数。
不知道能打几分。
家园 嗯，写的不严谨 无理数是无法公度的数，也就是说，无法用两个自然数的比值表示的数，说除不尽是错了
无法在数轴上确定准确位置的数，不对，每个无理数都有准确的位置，和有理数一起组成了完备的实数
无法算出准确数值，这个看怎么说，如果是说的“位置”，不对，如果是说“无限”（不循环），只能近似，对了，但是1/3也只能近似啊，所以不准确
无限不循环，正确，小学课本的定义，尽管不严密
谢谢南京兄捉虫