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从彭加勒猜想的被证明谈起

彭加勒猜想是法国数学家亨利. 彭加勒（Henri Poincaré，他被认为是20世纪初最重要的两位数学巨匠之一，另一位是大卫.希尔伯特，David Hilbert） 在100年前（1904）提出的一个拓扑学的猜想，其表述为：任何单连通封闭的3维流形与3维球面同胚。（Poincaré conjecture, it states that every simply connected closed three-manifold is homeomorphic to the three-sphere）很自然的，该猜想被数学家们推广到了n维的情况。

这里稍微解释一下几个名词。拓扑学中所谓同胚系指拓扑空间X与Y存在一一对应且连续的映射，通俗的说法一般用捏橡皮泥来表述，即一块橡皮泥可以被任意的改变形状大小但不允许切断任何部分或粘合原来分开的部分。则从拓扑关系上一个带把的茶杯与一个面包圈同胚。所谓n维球面（n-sphere）：简单的说，1维球面就是圆周（封闭的圆形曲线）；2维球面就是一般的球面如地球表面；n维球面依此类推。对于n>=3的情况恐怕要超出一般的想象。3维球面可从2维球面的导出来推想。如我们想象有两个与地球半径大小一样的圆形A与B，让它们的圆周与赤道重合（即A与B的圆周重合于赤道位置），A的圆面向北极方向鼓成一个半球面，B的圆面向南极方向鼓成一个半球面，则A与B合成了一个完整的球面。启示是2维球面存在于3维空间中。3维球面则必然存在于4维空间中。取两个大小一样的圆球（3维），设想在4维空间中让它们的2维球面各点重合然后将两个圆球沿相反的第四维方向“鼓”出与它们半径相同的距离则得到3维球面。另一种更有意思的想法是让时间是第四维，两个圆球在不同时间处于同一空间位置，然后设想两球时间之差无限缩小（两球在三维空间重合），同时一球向未来延伸，一球向过去延伸则也得到一个在4维时空中的三维球面.

实际上n=1和n=2的情形在彭加勒提出猜想前就已经被证明了；Zeeman在1961年证明了n=5；Stallings于1962年证明了n=6；Smale在1961年证明了n>=7；而n=4于1982年被Freedman证明（Freedman因此获得了1986年的fields奖）；只有n=3一直悬而未决。不仅如此，彭加勒与Paul Koebe，Felix Klein对2维流形进行了几何化研究：2维球面与正曲率的球面几何对应（Spherical Geometry）；2维环面（torus）与平面几何（Euclidean Geometry）对应；更复杂的相连的两个2维环面可以与负曲率的马鞍形面（Hyperbolic Geometry）对应。Thurston在上个世纪70年代对3维流形的几何化进行了研究并证明了其中的很大一部分（并因此获得了1982年的fields奖）但包含彭加勒猜想的Thurston椭圆化猜想仍未被证明。

由于其重要性，彭加勒猜想名列克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute in Cambridge, MA）在2000年悬赏100万美元求解的7大世纪难题（“Millennium Problems”）之一。2002年Dunwoody曾试图给出一个证明但很快被指出缺陷。同年11月，起初并不引人注目的，一位俄罗斯数学家Grigori Perelman 给出了他的证明。此人是一位数学奇才，92年至95年曾在New York University at Stony Brook 和UC-Berkeley作PostDoc，被公认为几何学高手并曾因其成就而被欧洲数学会授予奖励（但被他本人拒绝了！）。他随后拒绝了美国几家数学机构高薪聘请，回到了他的故乡-俄罗斯的圣彼得堡，用他在作PostDoc期间省下来的钱继续他的研究。他的证明最初并非发表于任何权威的数学期刊而是登在了一个网站上（至今仍在，有兴趣者请查阅：Perelman G. “The entropy Formula for the Racci Flow and Its Geometrical Applications”, Nov. 2002, http://arXiv.org/abs/math.DG/0211159和Perelman G. “Racci Flow with Surgery on three manifold”, 10 Mar. 2003 http://arXiv.org/abs/math.DG/0303109）。他的论文中只字未提彭加勒猜想，仅提了一次Thurston猜想。按规定，如果他的证明在两年内未被指出缺陷，Perelman将有资格获取Clay数学研究所的百万大奖（不知此次他是否还会拒绝?）

Perelman的工作重要性不仅仅在于彭加勒猜想或Thurston猜想本身，他在证明中运用的Racci Flow 方程对现代物理学前沿也有很大意义。关于这个题目我在去年11月看了PBS的THE ELEGANT UNIVERSE之后就曾想写写超弦（Superstring）,在Plank尺度上增加的6维空间（称为Calabi-Yau Shape），加上我们熟悉的三维空间和一维时间，一共是10维时空。1993年Ed Witten提出再增加一维成为11维时空以统一当时存在的5种超弦理论并推测存在一个最终的大统一场理论M-theory。2002年从对超弦状态的计算成功推导出了Bekenstein-Hawking entropy formula（计算黑洞表面存储的信息量的公式，1970年代由霍金等人的大量工作得出），这一成功极大的鼓舞了对超弦理论的信心。

回到彭加勒猜想，在远古，人们一直以为大地是个平面（中国古代的天圆地方说），麦哲伦环球航行回到出发点证明了我们处在一个2维球面上（2-sphere）。假如未来跨越星际的旅行成为现实，有新的冒险家穿越宇宙的时空最后发现又重新回到了出发点，那么我们存在其中的宇宙是否是一个3维球面呢？

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