主题：【原创】冤假错案的数学原理 -- 同人于野
我最近连续从几本书中看到同样的概率典故，不得不把它写下来。人的直觉是一个非常强大的武器，在很多情况下可以帮我们不需要精密计算就能做出正确的判断。但是在人的众多直觉能力之中，不包括概率。下面我说说这个典故。
现代技术检测 HIV 病毒的准确度已经到了惊人的程度。如果一个人真是 HIV 阳性，血液检测的手段有 99.9% 的准确率，也就是说有 99.9% 的可能性把他这个阳性给检查出来而不漏网。如果一个人不携带 HIV，那么检测手段的精度更高，达到99.99% - 也就是说有 99.99% 的可能性不会冤枉他。
现在假设我们随便在街头找一个人给他做检查，发现检测结果是 HIV 阳性，那么请问这个人真有 HIV 的可能性是多大呢？
在你回答之前，我要提供一点背景资料。德国马普研究所的心理学家曾经拿这道题考了好几百人，包括学生，数学家和医生。结果 95% 的大学生和 40% 的医生（这些医生实际上都受过这方面的专门训练）都给出了错误的答案。
如果你真懂概率，你会想到要使用贝叶斯定理，然后你会发现这道题还缺少一个关键信息：那就是一般人感染 HIV 的概率。现在已知一般人感染 HIV 的概率是 0.01%，也就是说一万个人中才有一个人感染这种病毒。根据以上信息，这位不幸被检测为 HIV 感染者的朋友真有 HIV 的可能性是多少呢？
正确答案是 50%。
我先说贝叶斯定理的算法，然后再给一个更直观的解释。贝叶斯定理说的就是条件概率。如果我们用 A 表示 “真有 HIV”，B 表示 “检测出 HIV”，那么我们要计算的是 P(A|B)。 已知 P(A) = 0.01%, P(B|A)=99.9%。
P(B) 需要计算一下，它等于 0.01% x 99.9% [也就是有 HIV 而被查出来的]+ 99.99% x 0.01% [也就是没有 HIV 但被冤枉的]。
贝叶斯定理说，P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)，计算结果等于 0.5.
直观的解释是这样的。假设我们随机地找一万个人来做实验。根据 HIV 病毒的分布，这一万人中应该只有一个人是真有 HIV 的。而由于我们的检测手段很强，这个人会被检测出来。但剩下的9999人都没有 HIV，可是我们对没有 HIV 的人的检测精度是 99.99%，也就是说有万分之一的可能性会冤枉好人。这样一来，我们的检测手段还会在9999人中冤枉一个人。
本来只有一人有 HIV，可是我们却检测出来两人。所以如果一个人被检测出 HIV 来，他真有 HIV 的可能性其实只有 50%。
从根本上说，造成这种局面的原因在于 HIV 其实是一种罕见的病毒，只有万分之一的感染者。在这种情况下即使你的检测手段再高，也很有可能会冤枉人。下面再给一道例题：
1%的妇女有乳房癌（简称为C）；80% 的有乳房癌的妇女会在乳房 x 射线照相检验 （mammographies， 简称M）中成阳性；10%的没有乳房癌的妇女也会检测到M阳性。现在有一个妇女检测到了M阳性，请问她患有乳房癌的概率是多少？
答案：P(C)=0.01; P(M|C)=0.8; P(M)=0.8*0.01+0.1*0.99=0.107,所以
P(C|M)=P(M|C) P(C)/P(M)=8/107.
这是一个出乎意料的小数。
如果一个疾病比较罕见，那么你就不应该对阳性诊断特别有信心。
由此我联想到当初文革期间的“抓特务”行动。“特务”这个工作的要求，其实贵在精而不在多，再说国民党也没那么多钱养，真正的特务其实是很少的。如果我们看到一个人长得像特务，说话走路也像特务，我们有多大把握说他就是特务呢？上面的两个概率例题告诉我们，“误诊率”可以相当高。“抓特务”，最好的办法是冒出来一个抓一个，最可怕的办法是搞“人人过关”。如果你搞“人人过关”，必然是一大堆冤假错案！
这就是概率。哪怕你的初衷再好，你也会犯错！
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本文第一个例子来自 The Social Atom 一书。
第二个例子来自 Super Crunchers 一书。
另外好像 The Drunkard's Walk 这本书里也有一个类似的例子。
别人一而再，再而三地强调，我们岂可不知呼。
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如果考虑进去P(A)的真实估计确实=0。01%的概率,正确答案还应该混乱一点
但我们可以选择犯哪一个。关于这个贝叶斯的问题，老马丁曾经谈过。
“虚警概率”和“漏警概率”不可能同时避免，但归结到底，选择哪一种错误决定了冤假错案的整体概率大小，也就是法学上“疑罪从无”和“疑罪从有”的分别 —— 显然后者造成冤假错案的概率要比前者大的多。
再装模作样的加点法律的名词儿，有望成为文理双全的镇河宝贴
计算过程：驿路梨花:贝叶斯
在那凶险的战争年代，斗争是你死我活的。只要有一个漏网的特务，你自己的生命就可能玩完了。
而在和平年代，你落网几个特务，造成的损失相对较小，也就是漏点情报给台湾特务什么的。太大的抓起来毙了，小猫小狗留着放长线钓大鱼呢，反正还不至于直接危及到我政权的生存。
这就不仅仅停留在概率和贝叶斯上了，而是一个以概率为参考基础的决策性分析了。
在河里的影响力越来越大，希望能一直坚持下去，也不枉你取了这个ID。
看了博客这么久了刚认出来。
以下是我1/14/2008的博客。
医生用B超看娃大小，有时会很肯定的告诉你，有95%的置信度可以说，你们家娃太轻了，多吃点啊。下次去，又会很肯定的告诉你，有95%的置信度可以说，你们家娃太重了。。其实呢，如果太轻算低于10%的话，娃真的轻的几率只有68%，而不是95%。
让我们简单的用条件概率算一下。有些数字和公式，希望大家耐心看完，并re。
事件A：B超判断娃轻
事件B：娃真的轻
p(A)：测出轻的几率
p(B)：娃轻的几率
p(B|A)：它说轻就真的轻的几率
p(A|B)：娃轻被测出来轻的几率
p(A&B)：娃轻同时测出来轻的几率
显然p(B|A)=p(A&B)/p(A)，同理p(A|B)=p(A&B)/p(B)
所以有p(B|A)=p(A|B)*p(B)/p(A)
=(95%*10%)/(95%*10%+（1-10%）*（1-95%)）
=68%
重点在于，娃轻是个小概率事件10%，而且出现在分子上；分子也作为
分母的一部分，而另一部分是一个大概率90%乘以机器的判错率5%。
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其实B超估算体重之所以不准，不是机器的原因而是人为误差。因为估算是靠衡量头围股骨长度等系列指标来最终计算完成的。而这个衡量由于胎儿倾斜程度，选取截面位置不同等有很大差异。这是和技术员本身经验能力有很强关系的，不是游标卡尺一样的精确。
让我想起了以前学概率的时候老师给出的很多有趣的例子。其中有一个例子很有意思，也在电影《21点》中出现过。就是一个电视节目上，选手面对A,B,C三个门，其中有一个门后有奖品，选手可以选择A,B,C中一个门。在选手选择A后，主持人打开了B,B后没有奖品，然后问选手是否愿意改选C。电影里MIT的教授的答案是要改选，而我的教授的答案是不改选。