主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发

这两个都不用先用特别高深的教材，很多教材微积分还带着数学分析，线性代数还带着高等线性代数，都不用，就用基础的。然后再用难一些的教材加深，大量的做题，国外很多教科书是有单数题目的解答，那么就把单数题目做完就好了。

然后是数学分析，这个跑不掉的，而且对之后很重要。同样重要的还有高等线性代数。同时可以接触一下初等概率论（这个需要微积分，所以只有放在这里了），还有统计。

再往下就可以有分支了，不过强烈建议学习实分析、复分析和测度论。搞金融数学的话，一定的测度论是需要的，测度论又需要实分析，所以只有先学实分析了。数学的东西太多了，再往下就没法说了，看兴趣，哦对了还有常微分偏微分方程最好看一下，不用看深，会用即可。动态系统、数论、混沌理论、高级概率（就是从测度论出发构建概率理论）、太多了太多了。

我学的是统计，不过我校实在不咋样，用的教材太浅，要求的课程太少，所以建议你去看MIT的Opencourse课程安排，里头还有教案、作业、考试，是很不错的资源。

前两天初读此好贴，感慨难平，竟喝了两口酒。

我曾几次对着极限定义那页书枯坐许久，

说不出的别扭，如井底望天。

另读过厚兄西西河建议系列中‘人民战争’一贴，

亦是难得好贴。用心良苦，视野深远精准，行文严谨平实。

这个帖子是一边引用华罗庚《高等数学引论》的序言，一边谈一些自己的感想。我引用这篇序言有几个目的：

1.华老是自学成才的典型，而且他的水平很高。即使他后来回国后失去了一些最好的工作条件，却仍然做出了很深刻的工作，并培养了一大批人才。我觉得他作为一个自学成才的优秀代表，对于我们普通人的学习工作尤其有借鉴意义。

2.我前面在漫谈数学分析的时候，曾经提到过一些个人看法，主要是我自己自学过程中的经验总结，当时我还不知道华老的这套书。这周查文献资料的时候看到了，觉得是个很好的印证。华老说得比我好得多，我特地把我感触特别深的地方用红字标出来了。

3.我这个系列帖子的计划中，要把大学数学专业的分析课程都全部扫一遍。现在正在准备的有线性代数、常微分方程、复分析和数学物理方法。我才学有限、时间精力有限，准备得比较慢。华老的《高等数学引论》对这些材料都有比较全面的覆盖，并用统一的观点来统摄。性急的同学可以先翻阅他的书，然后再看我分门别类的习题解答。

华老书的一大缺憾是没有习题，我这个系列帖子可以看作是对他著作的一个补充。延续他遗留下来的数学教学传统，我觉得是我们后人的责任，也是对他最好的纪念。

4.我曾经多次提到学术传统积累的重要性。我也曾经对古尔沙（Goursat）的数学分析教程赞不绝口，认为是法兰西数学教育传统的一个具体体现。而华老的这套教材，我个人认为是融会贯通了海外诸国的优秀数学传统，和菲赫金戈尔茨、柯郎等人的经典教材相比也毫不逊色。我觉得这是中国人的骄傲。现代中国数学的学术传统，在这套书里可以找到根源，我们应该把这个传统延续下去。

我个人感觉现在各个高校流行的高等数学教材，就内容覆盖面和观点高低来看，比之华老的教材远远不如，可以说是大大地退化了。个人觉得很奇怪，“这样一个优秀的学术传统怎么就被人遗忘了？”

个人揣测，可能是因为文革打断了这个积累过程，改革开放后又“人心散了，队伍不好带了”，没有人愿意踏踏实实地去延续这个传统了。

其实做学问最忌讳的就是“推倒重来”。记得河里曾有一篇关于苏联莫斯科数学学派的科普文章（可惜当时没有收藏起来）。大致就是讲苏俄的学术传统是如何日积月累最终导致井喷式爆发的--我的俄国同学曾讲过一个笑话，“所有的苏联数学家都是鲁津的学生”。虽有夸张，却也和历史相去不远（详见The Mathematics Genealogy Project,Nikolai Nikolayevich Luzin）。

中国现在经济转型到了一个关键时期，从前那种粗放式的“人傻、钱多、速来”的局面估计就要一去不复返了。在这样一个艰难的时刻，科技工作者如何为国家民族做出自己独有的贡献，是每一个中国人都应该思考的问题。

我以前曾提到建国前三十年的经验对我启发很大，具体的一些细节可以去看桃子甜的帖子【原创】关于可不可以用两弹一星的精神和投入来发展航空发动。我自己的求学之路就是和中国前三十年的工业化一样，通过点点滴滴的积累一步步走过来的，其中不乏逆向工程的山寨项目。

所以我个人的主张，就是要珍惜我们已有的学术传统，虚心向科学发达国家学习，逐步积累，通过解决我们自己面临的重要问题，逐步建立起一套符合我们经济建设和国防工业需要的教学科研体系。一言以蔽之，就是“自力更生”+“拿来主义”+“愚公移山”。一个很具体的例子，就是“培养创新型的人才”要从最基本的教学教材建设做起，否则一切都是空谈。

这个想法可不可行，我个人的体会不足以说明问题。举几个更有说服力的例子。

例子之一：现在牛津大学任教的Qian Zhongmin博士，本身是九十年代初国内华东师范大学培养的土博士。按照现在的行情，估计要被看重洋文凭的“接轨派”鄙视了。但是按照《泛函分析杂志》前主编，Leonard Gross 教授的评价，钱博士的水平是很高的。那么这位土博士的高水平是怎么来的呢？

“俺虽然是学概率论的，但是对分析兴趣也很大。可当年在国内没啥书读，只好把丘成桐孙理查合著的《微分几何讲义》来来回回看了三遍，把每个证明都背了下来，从此就打下了分析的基础了”。（【评】此即为“拿来主义”+“愚公移山”。）

那么丘成桐孙理查这本教材如何而来的呢？如果我没有记错的话，改革开放之后不久，陈省身就带着一批人回到中国讲学。他们做的几件事之一就是写了一系列的教材，向国内的人介绍当时微分几何的科研前沿，丘成桐应该是当时那批人中的一个（此事伍鸿熙在他的《黎曼几何初步》或者《黎曼几何讲义》的前言中有详述）。

八十年代初播下的种子，在十几二十年后的某个土鳖身上生根发芽，遂有今天的一个优秀科学工作者。这可以算是一个学术积累的正面例证了。

例子之二：山东大学的彭实戈教授在随机控制论领域里颇有建树，创立了“倒向随机微分方程”这一在金融衍生证券定价中有重要应用的理论，他也是中国金融数学的奠基人。即将于今年在印度海得拉巴召开的国际数学家大会上，彭教授将被邀请作一小时大会报告。这是中国大陆本土数学界获此荣誉的第一人（参见维基百科和百度百科相关词条）。

彭实戈是洋博士，但是他的学术成就却与他当年参加的复旦大学数学系“控制理论讨论班”有密切关系。这段历史在雍炯敏周迅宇合著的《Stochastic Controls: Hamiltonian Systems and HJB Equations》里有详尽叙述。具体情况我就不多讲了，大家可以自己去读该书的前言。

这个讨论班发生在八十年代末，有洋博士也有土博士。按照今天的标准，该讨论班的条件说不上好（没有电子邮件等通讯方式与外国同行交流，也没有太多的钱购买学术期刊），但这个讨论班却卓有成效地攻克了当时国际公认的随机控制论难题。我后来读到这段历史的细节的时候，颇有豪气干云的感觉，“我们中国人是有志气的！”这种志气，就是迎难而上，解决真正的大问题的志气，就是毛主席说的“独立自主、自力更生”的志气。洋博士土博士，解决问题才是好博士！

例子之三：摘抄一段百度百科的相关词条：

“均匀设计”的根子在于数论里一些很深刻的结论（这就是王元参与其中的原因了，具体文献参见华罗庚王元合著的《数论在数值分析中的应用》）。而这些数论里的深刻结论则要归功于华老在文革前开办的数论讨论班。（【评】此即“要珍惜我们已有的学术传统，逐步积累，通过解决我们自己面临的重要问题，逐步建立起一套符合我们经济建设和国防工业需要的教学科研体系”。）

我对苏联/俄罗斯的数学教育有一点感触，就是每一门课程都有大量的习题做辅助（这个可以参见网上流传的一个帖子《世界第一数学强校——莫斯科大学》，其真伪难考，但与我个人经验是符合的），而西方在这方面也颇有积累（参见这个链接）。我个人认为这种做法的意义在于通过一些高质量的教材和配套习题，构成了一张严密的科学训练网，使得任何一个走完这套标准化程序的人，都能有一个扎实的基础。而不需要太依赖于个人的聪明和老师的传帮带，尤其在本科教育阶段。

这和二战时美日军工生产的区别一样。日本制造依赖于工匠的技艺，一旦熟练工人走上战场，战斗机的质量立马下降；而美国则通过机器和流程管理，通过标准化把复杂工作变为任何一个稍经训练的人都能干的东西，从而保证产品质量。（这个故事是网上看来的，真伪待考。）

放到当下的中国，尤其考虑到高质量的师资力量不足而学生众多的情况，一个有可能行得通的办法就是把一批高质量的教材和习题解答放到网上，同时配以优秀教师的讲课视频（例如我前面帖子提到的北师大的数学分析课程视频）。这样，任何一个人只要有网络，就能够接收最好的高等教育。与真正上大学唯一不同的就是无人讨论答疑，但是这也可能通过论坛讨论来解决。这是“高等教育人民战争”的一个具体做法。

这可以看作是对麻省理工开放课程和iTune University的一个山寨，也可以看作是一个适合中国国情的土鳖版。

没有仔细想过这中间是否有商业利润可言。比方说做一个网站，把这些课程资料集成，网站主办方甚至可以主动出去找优秀教师来录制节目，并且可以把从小学到研究生的教育全部都覆盖。但中间如何商业化赚钱呢？卖广告？或者付较低的费用就可以下载来看，下载之后几天内就自动失效？把精品课程搞成DVD出租一样，通过网络出租？

Anyway，一点胡思乱想。我觉得关键是我们现在已经有了一些资源和人才，把他们/它们统合起来，就可以干很多的事情，至少能让大学生们在学校期间不虚度时日。

当然，我说“标准化”，不是指僵化地必须用什么书。而是具体指两条：一、覆盖面的广度要标准化；二、材料的深度要标准化。在此基础上，可以用任何国家的任何教材。关键是要为学生搭建起一个比较完整的知识体系，认识到科学是一个整体，尽早地开始自主学习和科研。

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回到华老书的序言。原始出处来自中国互动出版网的这个链接，我在文后也附上了一个读者的评论。作为一个重要补充，我还推荐严加安先生的一点治学体会。

[SIZE=3]【华老的序言】[/SIZE]

这部书的第一卷终于交印了，它既是急就章，又是拖沓篇。1958年匆匆上马，现想现写现印现讲，有时写稿不过三遍，仅仅经过起草、修改、誊正三道手续便拿去付印。所以说这是急就章。如果能专心一志地连续地干下去，那还可能比较好些，但又经常为其他工作所打断，因而写一段停一停，改一章放一放的情况又经常出现，所以说是拖沓篇。情况是如此，虽然经过同志们的帮助和修改重写，但还可能留下不少后遗症。这样的草率工作本来不该交印的，但不少同志热情鼓励，几经踌躇终于把它出版了，希望经过读者的帮助，人多、眼多、想法多，多提意见将来可以改写得更好些。

这个课自始至终是和王元同志合开的，他对原稿的形成与改写都提了不少意见，并且有不少章节都是出自他的手笔。在共同教学中一些心得已经吸收人我们合著的“积分的近似计算’，一书中，1961年龚升、吴方等同志又用这讲义教了一遍，修改了不少。（【评】龚升的《简明复分析》写得极好，充分体现了华老“数学一条龙”的教学思想，我猜想这可能是华老学术传统在龚升书上的体现。）最后定稿又经过曾肯成、许以超、史济怀、邓诗涛、李炯生、刘碧梧等同志的。细心校阅，提了不少意见。个别章节还获得了戴元本、陆汝钤、韩京清、、周永佩、罗祥钰、曹传书、吴松林、江嘉禾、李培信、邵秀民、陈志华、石赫、殷慰萍等同志的帮助，有关这些我在这儿表示谢意。特别应该一提的是：在最后定稿的时候，获得了中山大学吴兹潜、林伟二同志的帮助，他们一字不苟地校阅推敲，使本书避免不少错误。

在写作的过程中参考过熊庆来的“高等算学分析”(1934)；苏步青的“微分几何学”(1947)；赵访熊的“高等微积分”(1949)；孙光远、孙叔乎的“微积分学”(1952)；陈建功的“实函数论”(1958)；杨宗磐的“数学分析入门”(1958)；樊映川等的“高等数学讲义”(1958)；陈荩民的“高等数学教程”(1958)；关肇直的“高等数学教程(第一卷)”(1959)；江泽坚的“数学分析”(1960)；北京大学、复旦大学、南京大学及高等数学教科书编审委员会的“高等数学教程”，我在此致谢。其他作为参考的外文书籍不在此一一列举了。 （【评】此即为珍惜自己的学术传统，并逐步积累以达水滴石穿之目的。）

在写作的过程中，曾经有过一些努力，企图能更好地体现教学改革的方针。读者可能发现一些其他书上所没有的材料，也可能发现一些稍有不同的处理方法，都是一种尝试，作为引玉之砖，作为试矢之的。希望得到大家的指正。

大学教书不是照本讲，因此本书也准备了一些可教可不教的材料，教师们可以灵活掌握，余下的材料可以作为学有余力的同学的课外读物。习题应当做，并且适当地要多做些。本书没有组织好习题，希望老师们自己设法组织。习题的目的首先是熟练和巩固学习了的东西；其二是初步启发大家会灵活运用，独立思考；其三是融会贯通，出些综合性的习题把不同部门的数学沟通起来。

在教学过程中深得教学相长的益处，其中不少是由于同学所提意见的影响，我把所得到的一些不成熟的看法写在下面供同志们参考。我讲书喜欢埋些伏笔，把有些重要概念、重要方法尽可能早地在具体问题中提出，并且不止一次地提出。目的在于将来进一步学习的时候会较易接受高深的方法，很可能某些高深方法就是早已有之的朴素简单的方法的抽象加工而已。(有些深化了些，有些并没有深化而仅仅是另一形式而已。)（【评】此即为用历史唯物主义的观点看问题，把理论还原到原始问题中去，而非神秘化一个理论，让人感觉它是天上掉下来的--“通过实践而发现真理，又通过实践而证实真理和发展真理。从感性认识而能动地发展到理性认识，又从理性认识而能动地指导革命实践，改造主观世界和客观世界。实践、认识、再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环的内容，都比较地进到了高一级的程度。这就是辩证唯物论的全部认识论，这就是辩证唯物论的知行统一观。 ”（毛泽东《实践论》）。）我也喜欢生书熟讲，熟书生温的方法，似乎是在温熟书，但把新东西讲进去了，这是因为一般讲来，生书比旧课，真正原则性的添加并不太多的缘故。找另一条线索把旧东西重新贯穿起来，这样的温习方法容易发现我们究竟有哪些主要环节没有懂透。有时分讲合温，或合讲分温，先把一个机器的零件一一搞清，再看全局，或先看全部机器的作用和目的，再分析要造成这个机器需要哪些零件而把条件一一讲明。（【评】此即为愚公移山精神之具体体现。）

“数”与“形”的“分”和“合”，“抽象”与“具体”的“分”与“合”都是在反复又反复的过程中不断提高的。同学也要求讲讲“人家怎样想出来的”，因而在讲书时也曾作过尝试，主观地推测一下。这很可能并不是原来的想法，但给出一条“这一步看下步并不难，连看几步就达到目的”的途径，作为同学们的参考。

以上一些肤浅的看法在讲课时都尝试过，但绝大部分写不下来，或者写下来就走了样，因此，同是一部书，可以多样讲，讲义作参考，结合同学的实际情况能灵活掌握才好。拉杂地写了这些意见，与其说是对教师讲的，还不如说是对同学(或自学的人)讲的。

总之，由于水平的限制，虽然黾勉从事，但缺点一定不少，我诚挚地希望读者们多提意见，更希望教师们多多指教。

最后，特别需要提起的是：由于中国科学院数学研究所的支持，才使我有机会讲授基础课和编写讲义；在编写过程中，自始至终得到了中国科学技术大学的支持，这都是我要衷心感激的。中国科技大学教务处、数学系与数学教研室的同事们，在我从事这项工作的时候，一直给我方便与帮助，也在此表示感谢。对科学出版社的感谢，那就更应当在此一提了，他们花了大量的劳动，在制图、编辑加工、排版印刷、校对等方面都做了细致而深入的工作。...

[SIZE=3]【一位读者的评论】[/SIZE]

評《高等數學引論》

《高等數學引論》實際上是華羅庚在1960年代寫的大學數學系的教材. 但是時至今日還沒別的教材能取代有這部教材, 主要是因爲這部教材有一個明顯的特點, 就是華羅庚的 “一条龙” 教学法. 華羅庚始終認爲數學是一門有緊密內在聯繫的學問, 所以將大學數學系的基礎課分成微積分、高等代數、複變函數論等分科來講授是將數學人爲地割裂開來了. 因此華羅庚在《高等數學引論》裏按一種合理的順序講了以下內容: 微积分, 微分幾何學, Fourier級數, 常微分方程, 差分方程, 複變函數論, 非歐幾何學, Weierstrass的橢圓函數論, Jacobi的橢圓函數, 代數矩陣論, 體積, 非負方陣. 華羅庚安排內容的原則是: 在數學工具足夠的情況下, 凡是可能講的內容, 不論屬於哪個領域, 都盡可能地放在一起加以講述. 我覺得華羅庚的做法是符合學習規律的.

由於華羅庚沒有充足的時間寫這部教材, 所以這部教材還是有些遺憾之處:

1. 據王元的說法, 第三, 四册中有不少地方, 作者用了 “不难证明…” 这一类的话. 对于一般初学读者人来说, 可能不是這樣的.

2. 作者自己說, 本書沒有組織好習題. 華羅庚認爲, 習題的目的首先是熟練和鞏固學習了的東西; 其二是初步啟發大家會靈活運用, 獨立思考; 其三是融會貫通, 出些綜合性的習題把不同部門的數學溝通起來. 如此看來, 組織好習題是需要不少時間的.

3. 由於作者找不到原稿, 第四卷缺第十, 十一, 十二章, 這三章是講n維空間微分幾何學的. 這真是一大損失.

不然你给个理由，凭什么共享？

再说了，如果通过讨论，讨论出错误来怎么办？论文还发表不发表？科研经费还要不要？

写帖子的时候就在想，会不会有人出来说，“体制啊，体制”。

看到第一个回帖，自己不由得哑然失笑，不幸言中了。

这座楼建起来的初衷是和大家分享一些自己的求学体会。最近这个帖子的缘起则是想向大家推荐华罗庚的《高等数学引论》，但因为感叹于他留下的教学传统被后人轻易遗忘抛弃，遂有了一些杂感。

帖子写了四个多小时，发出来后却又觉得无聊了。实在是不希望歪楼，但错误在我--我不该在这个楼里谈“国家大事”的。

最近一段时间不太会下河了，所以如果有未通过认证的河友发帖后看不见，那是因为我没有在那里开闸放行了。

大家不用担心本楼烂尾，已经写好还没贴的习题解答都还有几本。想攒一攒一次多发点。

昨晚做了一个梦，醒来后颇有些伤感。然后就一直睡不着了。看来自己果然老了。

先这样吧，小别数月，该去为自己的五斗米奔波了。另外一潜水用的马甲也准备放弃了。

也来过几回（本人有合影照片为证），当时我们的老师包括龚升，史济怀，常庚哲，李炯生，殷慰萍，田畴，熊金城，谢盛刚，彭家贵等老师。数学所的老师也常来客串。但是我们没有选择华罗庚的教材，而是选的科大自己编的新教材（实际主要参考普林斯顿系列教材），原因很简单，看数学的观点已经发生很大变化，华罗庚自己也同意科大用新的教材。当时数学分析的观点已经是大范围，流形已经是个基本概念，大范围微分几何已经成为基础，另外近世代数已经成为基础课，请看许以超先生的矩阵论新版就已经把线性代数直接与近世代数结合，我们基本的训练不再是华罗庚教材中的以19世纪主要知识为基础，而是以20世纪50年代的知识为基础。当时科大老师一个急迫感就是追赶世界第一流的水平，所以教材基本是站在了最前沿。我记得偏微分方程沈尧天老师去复旦参观回来在课堂跟我们讲，科大的偏微分方程试题复旦数学系的学生是看不懂的。

我们拓扑教材，抽象代数直接就是原版书。

科大自己编的教材后来被证明实在太难，（我们在三年级以前做作业从来没有人能够在12点以前睡觉，包括天才们），从80级后就开始逐步降低难度，慢慢也用一些北大（例如线性代数），复旦（例如泛函分析）的教材，自己的教材经过降低难度开始出版。

我记得第一节课，常庚哲老师就说：我们要训练你们的是精细思维方式，要你们学会ε--δ思维方式，不是要你们成为计算工具，也不是要你们成为书呆子。我终身受用。

华罗庚的数学写法，有他个人浓重的特性，有点偏门，但也确实有其特别的价值。

用他的观念来进行大范围教学，可能有问题，即有可能导致学生接触现代观念太迟。

所以最好的做法，是把他的教材作为参考读物，供有兴趣的学生自行吸收。

厚积薄发的感慨，也有道理，自从海归日盛，中国老一代所积累的一点特色，基本上继承下来的不多，即使有，也不能在主流中占个位置。

所以中国一时还没法形成当年莫斯科学派那样的东西，主要还是中国既有的特色力量，与世界主流抗衡起来，还是弱了一点。

本人当初写从莫斯科学派看苏联基础科学的发展也正是有感于此，希望现在和未来，情况逐渐会有变化。

还是那句话，大家各自努力。

厚积薄发兄不必为别人的言论烦心。充耳不闻就行。

用积累的，工业化的方式将整个社会民众的思维，学习方式改造成现代的方式，这是当代中国面临的紧迫的问题。我观察，现在全社会的学习风气很浓重，工厂里学技术的，企业里学管理的，学校里搞研究的都是如饥似渴。各种电子书，在verycd, 网络盘上汗牛充栋，可见民心向学。

只是资料是死的，经验、心得是活的。 明白人相对少，很多人学而不得其法。 将学习资源公开化，网络化。 将学习经验、方法集中交流、系统化。到得民智大开时，市井相谈，皆具法度。再无知音难觅之叹，岂不快哉。

朝闻道，夕死可矣。时间、精力本来就该于稻梁谋外做正事。兄此事功在千秋。每个人只要有机会于此投入一份微薄心力，将来归去时自然不会觉得此生虚度。 无聊，伤感，大可不必。 虑多伤身，还望保重。

华老说过：“书要从薄念到厚，再从厚念到薄。”这是真正的学习的大道理，不知道厚兄的ID和这句话有什么渊源。

正好我以前也回帖谈过这个。

我爱莫扎特:学习是循序渐进的

华老的那本讲义和当时他开的课程有相当大的历史特殊性，要知道他开课的助教是王元等院士级的人物（当然当时还不是院士），这样的阵容大概是空前绝后了。

当时我们学甲类数学，大部分人又都是中学时数学竞赛的尖子，自然感觉不错，做吉米诺惟奇的习题集也不困难。谁知拿起数学系的教材一看，居然像看天书一样，完全看不懂。当时是非常震惊的，也觉得数学系的弟兄们肯定是异类，连打桥牌时都对他们多了一份敬畏。

常庚哲老师很有意思，讲课很好，大家都爱听。直到有一次，有个家伙上课迟到，推开门就往座位上走，被常老师叫住，非常生气地训斥一番，大家才知道常老师其实有严重的口吃。大笑一番，又更增加一份崇敬：那么严重的口吃，要怎样备课才能让我们察觉不到啊。

顺便说一句，科大的数学教材很不错，我现在还留着。

http://www.core.org.cn/core/default.aspx

中国开放教育资源协会

因为评选国家或省级精品课程都要有网页,各个学校也都在上马自己的教育资料和视频，虽然良莠不齐，但却给我们计算机学科的人创造了不少赚外快的机会。

另外，常跟彭实戈的徒孙混一块，久闻彭老种种事迹。那天见到彭老，偶那个心潮澎湃啊！不过自己还是个不入人家法眼的路人甲

龚升，曾肯成、史济怀、邓诗涛、周永佩、殷慰平等。

可惜俺数学成绩虽然不错，数学思维却是平平。