主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

总体感觉是少部分好像能看懂，大部分看不懂，主要是一些名词，不能用日常概念来理解。

　　看过CCTV10放的一个老外的科普节目，拍得不错，可惜没记住名字，否则再找来看看做教辅。

　　记得那里面解释引力与加速度的关系：

　　一个人呆在全封闭的电梯轿厢里，与外界切断一切联系。

　　轿厢不动时，他感觉到的是地球引力向下。

　　轿厢向水平方向以一个G的加速度运行，他感觉到的是斜向下45度、1.5G的加速度，但无法分辨哪个方向是引力，哪个方向是电梯的运行。

　　轿厢在自由下落的同时向水平方向以一个G的加速度运行，他感觉到的是水平方向的一个G加速度，但无法分辩是引力还是轿厢在运动。

　　这说明引力和加速度是同一个概念。

　　如果在轿厢上开个小孔，有一束光线射入。

　　轿厢匀速运动时（与光线不同向，以下同），轿厢的运动与光子运动矢量相加，当然轿厢的运动速度要接近光速，光斑向轿厢的运动反方向移动了一个位置，光线角度发生改变，还是直的。

　　轿厢以加速度运动时，因为在光线从孔到壁的过程中轿厢一直在加速，光线角度也在不断改变，看上去光线弯曲了，就是说加速度能使光线变弯。

　　前面已经“证明”了加速度和引力是同一个概念，说明引力能使光线变弯。

　　经典物理中，物体不受外力自由运动时只会保持匀速直线运动，光线也不例外，那么只好解释为引力使空间弯曲。

　　引力是质量造成的，就是说质量使空间弯曲，这个弯曲空间把引力这个概念给消除了。

有些说不上来的不对劲。你这么一说，我就明白了。好开始看5.

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （9）初步的时空模型（续1）

提示： 如果你不能想象4维时空， 跳过此篇 直接看（10）

9.1 闵可夫斯基时空

狭义相对论 提供了又一个 初步的时空模型， 叫做 闵可夫斯基时空。 它是一个4维度量流形， 包含了 3维物理空间和1维时间。

作为流形，闵可夫斯基时空就是 4维的欧氏空间。 他的度量结构(距离)是什么呢?

9.2 点（或观察者）的世界线

我们把观察者简化为一个点。 一个点（或观察者）在时空中的位置 说的是 它某时刻在物理空间的某位置 （4维的位置 包含了在物理空间的位置和在时间中的位置：时刻）。 一个点（或观察者）的运动 意味着 它 在时空中的位置 在时空中变动， 其扫出的轨迹 是一条线 （为什么是1维的？）， 这叫 该点（或观察者）的世界线。

注意，世界线的定义 对 4维流形模型也是成立的。

9.3 勾股定理

在平面上 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的两个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。

在三维欧氏空间， 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的三个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。

在4维欧氏空间， 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点B 到另一个点A（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的4个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。

任何实数的平方是正数（或0）， 在4维欧氏空间中用勾股定理定义距离时，我们把四个正数或0加起来（然后求平方根）， 所以这是一个 “带四个正号” （因为在加四个正数）的度量结构。

9.4 “三正一负” 的度量结构。

现在我们做一件有趣的事。 在定义上文的距离时， 强行把其中一个正号换为负号。 这个“三正一负” 的度量结构有什么性质呢？

三正一负 说明 4个方向中有一个与其它不一样。 另一方面 时空中， 1维的时间 似乎是与其他三个空间的方向不一样。于是我们 把这两个独特的方向等同起来（即三正一负时， 在时间方向的坐标平方前面用负号）。

三正一负 的实质 就是 时间和空间 有所不同。

四个正号 意味着我们把 四个正数或0（四个都是实数的平方）加起来， 结果 不会是负数。可三正一负 就不一定了。 3个正数加起来再减一个正数， 结果可正可负。结果如果是正的， 我们说 点B 和 点A 是 类空分隔的；结果如果是0， 我们说 点B 和 点A 是 类光分隔的；结果如果是负的， 我们说 点B 和 点A 是 类时分隔的。

这样一来， 固定了点A之后 整个 闵可夫斯基时空中的点 就根据 其与点A的分隔 属于何种类型，而分为了 3类。和点A类光分隔的点 比较特殊。这些点构成的集合 只有3维（别忘了闵可夫斯基时空是4维）。 为啥？ 应为结果刚好等于0 是一个等式。在4维，满足一个等式的点 构成一个 3维的 东西 （如同 在3维，满足一个等式的点 构成一个 2维的 东西 和 在2维，满足一个等式的点 构成一个 1维的 东西）。 和点A类光分隔的点 构成的 3维的 东西 叫光锥。 3维的光锥 把 4维闵可夫斯基时空 分为两部分，光锥内部的 正是 和点A类时分隔的点；光锥外部的 正是 和点A类空分隔的点。

9.5 光锥是对于一个点定义的

因为我们使用点A 来定义光锥。

9.6 “三正一负” 的度量结构 似乎是局部的

因为 “三正一负” 的度量结构是从“带四个正号” 的度量结构 修改符号得来的。而9.3 中用勾股定理分析时 我们固定了 点A， 把它作为坐标系的原点。所以似乎 我们的分析取决于 以点A 为“中心” 的一个坐标系。 按8.4的观点， “三正一负” 的度量结构 似乎是局部的。注意 这里说 “三正一负” 的度量结构是局部的 和 8.5 不矛盾。这里说的是 由于定义时用的坐标系 有可能只是局部的，所以它 有可能只是定义在 装备这些局部的坐标系的标准模块上。

9.7 强行要求“三正一负” 的度量结构是整体的

可以强行要求吗？ 可以，只要 定义“三正一负” 的度量结构时 用的坐标系是整体的就行。由于作为流形，闵可夫斯基时空就是4维的欧氏空间 所以我们可以规定 该4维欧氏空间是唯一标准模块，粘合指示为：什么也不粘。

这样一来 整体的坐标系 意味着“三正一负” 的度量结构是整体的。 4维的欧氏空间 加上这个 度量结构 就是 作为度量流形的 闵可夫斯基时空。 这个度量结构叫闵可夫斯基度量。

9.8 光锥场

由于有了一个整体的坐标系 和整体的“三正一负”度量结构 （闵可夫斯基度量），我们可选择 原点A外的任何一点 用同样方法定义光锥。 于是闵可夫斯基时空 点点有光锥，而且来自同一度量。这叫光锥场。

9.9 不同的整体坐标系

同一空间上可以有不同的坐标系。

比如平面上给了一个直角坐标系后， 我们可以通过平移原点 或旋转坐标系 而得到新的坐标系。当然我们也可以用 拉伸压缩改变夹角等方法 得到新的坐标系。 平移原点 和旋转坐标系的方法是特殊的。特殊之处在于 这种坐标变换 不改变 平面上用勾股定理定义的距离（度量结构）。证明很简单。 以勾股定理定义的到原点的距离 为半径，原点为圆心画一个圆。旋转坐标系后， 这还是一个以同样距离为半径的 以新坐标系原点（没动过！）为圆心的圆。 所以勾股定理定义的距离 在这种坐标变换下不变。平移原点当然也不改变勾股定理定义的距离。

现在我们对闵可夫斯基时空 做同样的事。 注意到 闵可夫斯基时空 用的是 “三正一负” 的“勾股定理” 定义的距离。 所以我们要求的是 闵可夫斯基空间里的 保持这种距离的 4维“旋转”。 不难写出这种坐标变换的公式来， 这种变换叫“洛伦兹变换”。注意 这里变换的坐标系都是 整体坐标系。平移原点当然也不改变闵可夫斯基时空的距离。

9.10 用坐标系描述度量结构 不同于 用坐标系定义度量结构

你可能问如果坐标只是 点的名字 按8.7的说法，距离自然不依赖于坐标系的选取，9.9中还有什么好证明或推导的呢？仔细一想，不对呀。如果真按8.7 那应该是 任何坐标变换（不光是洛伦兹变换，平移原点）都不改变闵可夫斯基时空的距离（度量结构）。到底哪错了？

这里的问题在于 我们实际不是处在8.7中的情况。8.7讲的是固定了一个度量结构（距离） 然后选择坐标系去描述它。 而9.9这里实际上是 先定义（整体）坐标系 然后通过“三正一负”式的 “勾股定理” 用坐标系定义 度量结构。 所以 不同的（整体）坐标系 原则上讲 可能定义出不同的度量结构！这时9.9 告诉我们 只要不同的整体坐标系 是由洛伦兹变换和平移变换联系起来的 那么定义出来的度量结构其实是相同的。

所以 用坐标系描述度量结构 和 用坐标系定义度量结构 是不同的。这不是文字游戏。这件事有时候专业人士都会搞错。

用坐标系定义度量结构 其实是一个不好的习惯。因为你必须检查 你的度量结构实际上不依赖于 用于定义它的坐标系 （不觉的是一件别扭的事吗？）。 但是为了降低阅读的痛苦指数，下几篇中我仍然会这么做。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （10）初步的时空模型（续2）

提示： 这篇是（9）的姊妹篇， 专供 不适应4维的人阅读。能看（9）的就不用看这篇了。我把上一篇中的4维替换为三维。 一切本质的东西都在。4维时空（流形）替换为3维 意味着物理空间只有2维。时间还是一维的。

10.1 闵可夫斯基时空

狭义相对论 提供了又一个 初步的时空模型， 叫做 （3维）闵可夫斯基时空。 它是一个3维度量流形， 包含了 3维物理空间和1维时间。

作为流形，闵可夫斯基时空就是 3维的欧氏空间。 他的度量结构(距离)是什么呢?

10.2 点（或观察者）的世界线

我们把观察者简化为一个点。 一个点（或观察者）在时空中的位置 说的是 它某时刻在物理空间的某位置 （3维的位置 包含了在物理空间的位置和在时间中的位置：时刻）。 一个点（或观察者）的运动 意味着 它 在时空中的位置 在时空中变动， 其扫出的轨迹 是一条线 （为什么是1维的？）， 这叫 该点（或观察者）的世界线。

注意，世界线的定义 对 3维流形模型也是成立的。

10.3 勾股定理

在平面上 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的两个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。

在三维欧氏空间， 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的三个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。

任何实数的平方是正数（或0）， 在3维欧氏空间中用勾股定理定义距离时，我们把3个正数或0加起来（然后求平方根）， 所以这是一个 “带三个正号” （因为在加3个正数）的度量结构。

10.4 “二正一负” 的度量结构。

现在我们做一件有趣的事。 在定义上文的距离时， 强行把其中一个正号换为负号。 这个“二正一负” 的度量结构有什么性质呢？

二正一负 说明 3个方向中有一个与其它不一样。 另一方面 时空中， 1维的时间 似乎是与其他两个空间的方向不一样。于是我们 把这两个独特的方向等同起来（即二正一负时， 在时间方向的坐标平方前面用负号）。

二正一负 的实质 就是 时间和空间 有所不同。

三个正号 意味着我们把 三个正数或0（三个都是实数的平方）加起来， 结果 不会是负数。可二正一负 就不一定了。 2个正数加起来再减1个正数， 结果可正可负。结果如果是正的， 我们说 点B 和 点A 是 类空分隔的；结果如果是0， 我们说 点B 和 点A 是 类光分隔的；结果如果是负的， 我们说 点B 和 点A 是 类时分隔的。

这样一来， 固定了点A之后 整个 闵可夫斯基时空中的点 就根据 其与 点A 的分隔 属于何种类型，而分为了 3类。和点A类光分隔的点 比较特殊。这些点构成的集合 只有2维（别忘了闵可夫斯基时空是3维）。 为啥？ 应为结果刚好等于0 是一个等式。在3维，满足一个等式的点 构成一个 2维的 东西 （如同 在2维，满足一个等式的点 构成一个 1维的 东西）。 和点A类光分隔的点 构成的 2维的 东西 叫光锥。 2维的光锥 把 3维闵可夫斯基时空 分为两部分，光锥内部的 正是 和点A类时分隔的点；光锥外部的 正是 和点A类空分隔的点。

10.5 光锥是对于一个点定义的

因为我们使用点A 来定义光锥。

10.6 “二正一负” 的度量结构 似乎是局部的

因为 “二正一负” 的度量结构是从“带三个正号” 的度量结构 修改符号得来的。而10.3 中用勾股定理分析时 我们固定了 点A， 把它作为坐标系的原点。所以似乎 我们的分析取决于 以点A 为“中心” 的一个坐标系。 按8.4的观点， “二正一负” 的度量结构 似乎是局部的。注意 这里说 “二正一负” 的度量结构是局部的 和 8.5 不矛盾。这里说的是 由于定义时用的坐标系 有可能只是局部的，所以它 有可能只是定义在 装备这些局部的坐标系的标准模块上。

10.7 强行要求“二正一负” 的度量结构是整体的

可以强行要求吗？ 可以，只要 定义“二正一负” 的度量结构时 用的坐标系是整体的就行。由于作为流形，闵可夫斯基时空就是3维的欧氏空间 所以我们可以规定 该3维欧氏空间是唯一标准模块，粘合指示为：什么也不粘。

这样一来 整体的坐标系 意味着“二正一负” 的度量结构是整体的。 3维的欧氏空间 加上这个 度量结构 就是 作为度量流形的 闵可夫斯基时空。 这个度量结构叫闵可夫斯基度量。

10.8 光锥场

由于有了一个整体的坐标系 和整体的“二正一负”度量结构 （闵可夫斯基度量），我们可选择 原点A外的任何一点 用同样方法定义光锥。 于是闵可夫斯基时空 点点有光锥，而且来自同一度量。这叫光锥场。

10.9 不同的整体坐标系

同一空间上可以有不同的坐标系。

比如平面上给了一个直角坐标系后， 我们可以通过平移原点 或旋转坐标系 而得到新的坐标系。当然我们也可以用 拉伸压缩改变夹角等方法 得到新的坐标系。 平移原点 和旋转坐标系的方法是特殊的。特殊之处在于 这种坐标变换 不改变 平面上用勾股定理定义的距离（度量结构）。证明很简单。 以勾股定理定义的到原点的距离 为半径，原点为圆心画一个圆。旋转坐标系后， 这还是一个以同样距离为半径的 以新坐标系原点（没动过！）为圆心的圆。 所以勾股定理定义的距离 在这种坐标变换下不变。平移原点当然也不改变勾股定理定义的距离。

现在我们对闵可夫斯基时空 做同样的事。 注意到 闵可夫斯基时空 用的是 “二正一负” 的“勾股定理” 定义的距离。 所以我们要求的是 闵可夫斯基空间里的 保持这种距离的 3维“旋转”。 不难写出这种坐标变换的公式来， 这种变换叫“洛伦兹变换”。注意 这里变换的坐标系都是 整体坐标系。平移原点当然也不改变闵可夫斯基时空的距离。

10.10 用坐标系描述度量结构 不同于 用坐标系定义度量结构

你可能问如果坐标只是 点的名字 按8.7的说法，距离自然不依赖于坐标系的选取，10.9中还有什么好证明或推导的呢？仔细一想，不对呀。如果真按8.7 那应该是 任何坐标变换（不光是洛伦兹变换，平移原点）都不改变闵可夫斯基时空的距离（度量结构）。到底哪错了？

这里的问题在于 我们实际不是处在8.7中的情况。8.7讲的是固定了一个度量结构（距离） 然后选择坐标系去描述它。 而10.9这里实际上是 先定义（整体）坐标系 然后通过“二正一负”式的 “勾股定理” 用坐标系定义 度量结构。 所以 不同的（整体）坐标系 原则上讲 可能定义出不同的度量结构！这时10.9 告诉我们 只要不同的整体坐标系 是由洛伦兹变换和平移变换联系起来的 那么定义出来的度量结构其实是相同的。

所以 用坐标系描述度量结构 和 用坐标系定义度量结构 是不同的。这不是文字游戏。这件事有时候专业人士都会搞错。

用坐标系定义度量结构 其实是一个不好的习惯。因为你必须检查 你的度量结构实际上不依赖于 用于定义它的坐标系 （不觉的是一件别扭的事吗？）。 但是为了降低阅读的痛苦指数，下几篇中我仍然会这么做。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）

比如欧式空间，硬要设计一个坐标系定义度量结构，结果定义出弯曲，可以做到吗？

三正一负里面，三个量是空间尺寸，一个量是时间尺寸，放在一起计算，单位（量纲）怎么统一？

作为时间尺寸的那个负值前面有一个常数吗？

我在（5）提过了。 一个流形上可定义无穷多度量结构。 一般的度量结构都是弯曲的（平直的是极其特殊的）。比如（5）的（弯曲的）内在几何球面， 其任何一块 作为流形都是欧式空间。

在仔细看一下， 我强调过 内在弯曲与外在的弯曲 完全是两回事。

对的

这话没有意义（如果展平指的是度量平直的话）。我举的（度量）平面、筒形面确实可以展平， 但那是因为上面定义的度量是平直的。 这和外在弯曲无任何关系。

另一方面 平面、筒形面上面可定义内在弯曲的度量。这时有没有外在的弯曲都不可以展平。其实内在弯曲的几何球面的一块就是有内在弯曲的， 而作为流形 这一块就是平面。

要点：区分流星与度量流形， 区分内在与嵌入

除了拓扑学几个字有道理， 其他不知所云或过于空洞而无法评说。

比如这串话

除非你告诉我啥是你说的“拓扑学的空间”， 否则叫我如何回答？

理解基本概念时要避免用日常的随意模糊的语言习惯（哪怕你用的术语看起来象日常词汇）。否则自己都不知在说什么。你可以看一下其他几个我回复的多的人的发言。看他们的问题是如何问的。

我在下一篇中解释。

依次从一维扩展到四维空间

时间维度和三维空间

不可能是物理严格的，试图能给出直观的概念而已。

　　待我想想该怎么说的清楚点。

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （11）初步的时空模型（续3）

提示：如果你读的是（10）而不是（9）。下面自动降一维就行了。

下面讲闵可夫斯基时空的物理意义。 这篇同时也是 狭义相对论概要

提示：一个物质点和一个时空中的点 不是一回事。一个物质点在时空中对应一条线：它的世界线。即它的运动在时空中（不是空间中）扫出的轨迹。这是因为随着时间的流逝，他会在时空中扫出一条线，哪怕它相对于某坐标系静止（这情况下 时间方向上还在动嘛）。它的世界线完整描述了 这个物质点在时空中的运动。这里说的相对于某坐标系静止，是指一个物质点在某坐标系下，空间坐标不变。某物质点在闵可夫斯基时空里匀速直线运动，指的是物质点的世界线是直线。注意 定义闵可夫斯基时空里匀速直线运动时我们没选任何坐标系。一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 和 相对于某个坐标系的匀速直线运动 是两回事（见下文讨论）。我们可以把一个时空中的观察者 理想化地当作一个物质点。

11.0 用两句话解释 狭义相对论：我们的物理时空是闵可夫斯基时空。 物理规律 在洛伦兹变换和平移下 不变，如同 闵可夫斯基度量结构 在洛伦兹变换和平移下 不变。

仅用第一句话我们就能推出很多东西。

11.1 取一个描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。接下来所说的整体坐标系 都指 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系。我们叫该整体坐标系 整体坐标系A. 整体坐标系A的选取，给出了一个将 闵可夫斯基时空 分解为时间部分和（物理）空间部分 的时空分解(因为“三正一负”中的“一负”的方向 被定为时间方向)。

11.2 由于整体坐标系A是整体的 时空分解也是整体的。整体坐标系A的时间轴 自身是一根世界线 且是一条直线。这世界线对应于一个物质点（观察者）的运动。由于 观察者 在 时空分解的坐标系中 （物理）空间坐标为零（时间轴上的点 空间坐标总是0）， 在该时空分解中，该观察者是静止的 （时间位置在变 空间位置没变）。

11.3 取第二个定义闵可夫斯基时空的 整体坐标系B。我们便有了 另一个整体时空分解 和在其中静止的观察者。这个观察者的世界线是整体坐标系B的时间轴。 这是一条直线。于是我们说观察者在闵可夫斯基时空里匀速直线运动。在整体坐标系A的时空分解中这也是一条直线。 所以在整体坐标系A的观察者看来，这是相对于该观察者的匀速直线运动的轨迹。为啥是相对于该观察者的匀速直线运动？ 因为 直线（世界线）总是和整体坐标系A的时间轴有一个固定的夹角，这说的不就是 在整体坐标系A的观察者看来 匀速直线运动吗？这就是我们通常理解的 相对的 匀速直线运动。

注意：如果我们不选某个 按“三正一负”的“勾股定理”描述闵可夫斯基时空的 整体坐标系， 而是乱选一个坐标系（哪怕他可以扩张到整个闵可夫斯基时空），一个闵可夫斯基时空里的匀速直线运动 可能不是 相对于这个坐标系的匀速直线运动。

11.4 前面讲过不同的整体坐标系由洛伦兹变换和平移 联系起来。根据11.3 在这些整体坐标系中静止的观察者 相对间 作匀速直线运动。我们把这类观察者称为惯性观察者。整体坐标系 称为 惯性参照系。

11.5 上一篇（9.9）告诉我们洛伦兹变换和平移 不改变 闵可夫斯基时空的距离。 注意 这是 4维的距离。

11.6 在不同的整体坐标系 给出的 不同时空分解中 在3维的空间部分 我们可用勾股定理定义空间距离。 在一维的时间方向， 可用时刻相减的办法定义 时间距离。但空间距离和时间距离 依赖于 时空分解的选取（整体坐标系的选取），也即依赖于 惯性参照系。特别地，时间距离是否为0 依赖于 惯性参照系的选取。这叫 同时的相对性。空间距离和时间距离 在不同惯性参照系下的变换 可由 洛伦兹变换和平移 决定。

11.7 根据11.5 11.6 我们看出 不同惯性参照系下 包含了时间和空间贡献的 4维闵可夫斯基时空距离不变，但其中的时间部分贡献 或 空间部分贡献 单独分离出来 则会变。这就是著名的钟慢尺缩效应。

11.8 光锥的定义是4维闵可夫斯基时空距离为0（见9.4）， 而洛伦兹变换 不改变4维闵可夫斯基时空距离，所以洛伦兹变换保持光锥场不变 （即 每一点的光锥都不变）。如果我们要求 光的世界线都在光锥上（这其实是物理上定义光锥的办法），这意味着光速不被洛伦兹变换改变。这就是光速不变原理：不同惯性参照系下光速一样。

11.9 那么光速是多少呢？ 是 1。光速的单位（量纲）是什么？ 没有单位。速度的单位是空间距离的单位除以时间距离的单位。 速度没有单位，说的是空间距离的单位和时间距离的单位是一样的。

很奇怪吗？单位，就是取坐标（标记点)时的基准， 即 某坐标轴上的被标记为1的点 被我们说成是 具有1个单位的 空间距离或时间距离。 如果你能接受11.5 11.6 11.7， 那么你能看到 唯一本质的距离是4维闵可夫斯基时空距离，这是由度量结构决定的。这个距离混合了空间距离和时间距离的贡献，但空间距离和时间距离是由整体坐标系的选取决定的，而度量结构不依赖于（整体）坐标系的选取。所以从4维闵可夫斯基时空距离的观点看，硬要把 某一个整体坐标系下分解出来的 时间和空间方向上的 坐标基准 说成是不同的（所谓不同的单位）， 反倒是别扭的事情。光速为1也不难理解。如果在某个坐标基准下它不是1而是比如说30万， 你换一个空间坐标基准（重新标记点）把原先被标为1的点标记为30万 就可以了。选光速为1是为了方便。

当然由于整体坐标系（惯性参照系）带来时空分解，该惯性参照系的观察者可能忽发奇想 说自己的时空分解 是特殊的。于是自行规定 不允许把空间坐标和时间坐标比较。 从这个意义上他说 时间空间的单位是不同的。这其实就是 普通人通常认为的事。在此意义下光速就有单位了。这有单位的光速在不同整体坐标系（惯性参照系）下是一样的（光速不变原理）， 于是我们有了一个 不变的（所有惯性参照系都认可的） 强行将空间坐标和时间坐标比较的方法。 我们把一切空间的定位或空间距离的测量 都化为时间的， 即我们用光信号连接不同的点 然后用光速和光信号所用的时间 来定空间位置。这样一来你再强说时间空间的单位是不同的 也可以。但 你把它们说成不同 却又总偷偷用 不变的光速 把它们化为相同的测量 和 正大光明地干脆承认 它们可以看成是相同的（比如其实都是时间单位） 这两种观点在物理上是没有区别的。 当然 你一旦用第二个观点，就回到了上一自然段：速度没有单位。

11.10 既然洛伦兹变换保持光锥场不变，光锥场的内外部也保持不变。 一个点处的光锥的内外部 分别是与这个点 类时分隔的点和类空分隔的点。这意味着在不同惯性参照系下 类时分隔依然是类时分隔， 类空分隔依然是类空分隔。 光锥是类时分隔与类空分隔分界,而光锥本身是光的轨迹。 这意味着光锥一边是亚光速一边是超光速。类时分隔对应亚光速（低于光速）。这意思是说，如果某个点（观察者）的世界线在光锥内部，那么这个点（观察者）速度低于光速。类空分隔对应超光速。 类时分隔的不变性意味着 惯性参照系的改变（相对匀速运动）不能把亚光速变为超光速。

11.11 我希望至此，对狭义相对论有所了解的读者 能体会到4维度量流形的观点（闵可夫斯基时空）是何等的有力。 我理解狭义相对论的各种时空效应， 不靠科普书里的各种思维试验。抓住 闵可夫斯基时空 就够了。更重要的是，这种观点是我们向广义相对论进军所需要的。

待续

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