五千年(敝帚自珍)

主题:考考你的文化素质(高难) -- 水西残梦

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家园 我试着解释一下我的问题吧

在回答第一问时我们能否用(a+a)^2=a+a来进行证明?回答是可以用,但不能直接用。

对于集合中任意两元素a,b(a,b∈R),a+b不一定属于此集合,举个例子,R'={1,3,6,7,9},使a=1,b=1,则a+b不属于R',同理,在R中a+a有同样的风险。使我们避开这个风险并进而能使用(a+a)^2来进行证明的是题中另一个条件:R是一个环。环中任意两元素进行“+”、“*”操作是封闭的,也就是说经过“+”、“*”后所得到的值仍在R内(a,b∈R,a+b∈R ∧ a*b∈R)。环的这个性质保证了此题中a+a∈R,我们也就能够往下证明。

如果不给出上述的说明您的答案是不完整的。我最开始提出的答案也是不对的,想得太窄了,能用a+a+a表示的元素个数可以不只为2,“环中所有元素”是正确的。但我现在能想到的元素个数大于2的情况仍要以“2为域”做基础。学的那些数学课放了好几年了,啰嗦这些话很可能有错,欢迎您和河友不吝指出。谢谢您的耐心交流

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