主题：自牛顿以来的科学家 -- foundera

第22章 数学家

　　数学上的天才和智者很难定量地确定。我似乎觉得从碌碌之辈直到高斯、彭加勒和希尔伯特那样最高层次的人的过渡是几乎连续的。很大程度上不仅仅取决于脑。肯定有我所称的“内分泌因素”（由于找不到更合适的词）或品格特征：坚韧性、体魄，工作的意愿，有些人叫做“激情”的东西。 　　――乌拉姆

　　这里把数学家作为单独一章来介绍，是因为数学在本质的基础上区别于前面的有关科学的介绍，是因为在一般人看来，数学家是比科学家更加令人难以琢磨的一个群体。

　　人们对数学家有某些怪异的看法，例如有人列出了当数学家的如下理由：从楼上砸下一个西瓜，会有九个经理被砸着，而一个数学家都不会有；当利息或税率调整时，数学家是算的最清楚的一个；数学这个职业是投资回报率最高的职业之一，因为它的投入只有一枝笔加几张纸；数学家永远不会像发明家那样被专利困扰，他不怕有假冒伪劣产品出现；当数学家犯了常识性错误时（比如走路撞墙、洗衣服用味精），人们给予的往往是表扬而不是批评；用脑可以减肥，所以数学家不会有肥胖的后顾之忧；当政治家往往在下台后被万人唾骂，当数学家就没有这样的名誉风险；在很多领域有种族、性别的歧视，当数学家就不需要享受此待遇；数学家是最先实现家庭办公的职业；数学家的婚姻都很幸福，也有的数学家终身未娶（嫁），因此也没有婚姻的烦恼；……。

1、数学与数学家

　　在科学分类中，数学与物理、化学、生物、天文等经验的自然科学往往是分开的。关于数学是什么，有多种形象化的描述，如数学是理性思维的结果；数学是推理的艺术；数学是猜测的学问；数学是解释；数学是比喻；数学是文化等等[1]。

　　无论如何，数学是一门有别于一切经验科学的科学，主要体现在它在形式上的符号化和内容上的超验性。数学世界是一个不具备任何经验内容的纯粹的理念世界，相对现实世界而言，数学只是一种抽象的形式化语言。至于这种语言表达或者将要表达什么内容，完全取决于使用这种语言的主体，数学可以说是一切科学的有效的和有用的万能工具。波普尔甚至认为，由于数学不具备关于自然科学的可证伪性、可检验性原则，因此数学是一种非科学。关于诺贝尔在遗嘱中没有设立数学奖的猜测很多，一个最可能的原因可能也在于此，毕竟诺贝尔是一个注重实验的产业型科学家。

　　什么是数学的基础，科学哲学家或者数学家本身都存在巨大的分歧。20世纪初罗素悖论的发现导致了人们对数学基础的一场大论战，形成了逻辑主义、直觉主义和形式主义的解释。逻辑主义认为数学概念从逻辑概念出发，用逻辑概念给出明确的定义；数学定理通过纯逻辑推理，从逻辑公里推导出来，因而数学是逻辑的分支。在自觉主义者看来，只有建立在原始直觉和构造性的基础的数学才是可靠的。形式主义者将整个数学表述为一个形式公理系统，在这个系统中，不证自明的命题称为公理，其他的命题则是遵循某些设定的形式规则和逻辑法则推演出来的。

　　数学的超验和公式化特征决定了数学家与自然科学家的不同。除了需要生活费用和运算工具外，数学研究是一种有形的物质成本低廉而无形的智力消耗巨大的研究活动，更多地需要研究者独立地、长时间地、没有排除外界干扰地进行思考，因此与其他科学家相比，很多数学家似乎更具天才、个性更为孤僻，同时数学也是容易产生民间的、业余的科学家的研究领域。许多数学家发现，除非在安静的、与世隔绝的环境中，否则就很难认真地思考问题，因此数学家需要追求充足的时间供他支配。不像实验科学家之间普遍实行集体协作那样，数学家之间很少合作，即使需要合作也不是经常在一起，一般是参与合作的每个人拿出自己独处时的成果，再把各自的结果集中起来。哈代（G.H.Hardy,1877-1947）是合作者的一个例子，他和李特尔伍德(T.E.Littlewood,1885-1977)、拉马努金(S.A.Ramanujan,1887-1920)合作发表了不少论文。

　　19世纪以前，数学家很难有自己作为数学家的职位，他们需要家庭、赞助人提供生活来源，因此大多数数学家不得不兼做其他事情。像自然科学家一样，数学家也来自于不同的家庭。他们有可能来自名门望族，如黎卡提、达朗贝尔(J.R.D'Alembert,1717-1783)、切比雪夫(P.Chebyshev)；也可能来自一般的富裕人家，大多数数学家如此，如笛卡尔、费马(P.Fermat,1601-1665)、彭加勒、康托尔(G.Cantor,1845-1918)、希尔伯特、冯?诺依曼；也可能来自贫穷的家庭，如高斯。

　　数学家因其思维和秉性的不同，而对数学做出不同的贡献。有的数学家创造了理论，如李(M.S.Lie,1842-1899)创造出有关微分方程的连续变换群论，李群已成为现代数学的基本概念；黎曼创立了黎曼几何。有的数学家提出了猜想和问题，如歌德巴赫提出了哥德巴赫猜想，费马提出了费马大定律，希尔伯特提出了著名的23个问题。有的解决难题，如怀尔斯（A.J.Wiles1953-)证明了费马大定律，陈景润成为证明哥德巴赫猜想的最近的人。有的数学家关注现实生活中的数学问题，致力于数学的应用，纳什研究博弈论，却因为用于经济研究而获得诺贝尔经济学奖。

　　数学家也可以分为纯粹数学家和应用数学家。纯粹数学家以高度的数学抽象能力追求数学的严密和美感，应用数学家则力求脚踏实地地追求数学的应用以及他们与物理、计算机等学科的联系。

　　像自然科学家队伍一样，数学家队伍也不是千篇一律的模式。在数学家中，也有各式各样的人。他们中相当一部分是心无旁鹜的数学痴情者，如哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805-1865)整整化了20多年试图充实他的四元数世界。埃尔德什(P.Erdos,1913-1996)没有妻子没有孩子，没有嗜好，甚至没有家，在60多年流动的数学生涯中，直至古稀之年每天仍工作19小时，共发表了1475篇数学论文。也有一些数学家精力充沛，涉猎广泛，在从事纯粹的数学研究的间歇或者数学研究之后进行着其他的活动。他们中有自然科学家特别是理论物理学家，如帕斯卡、牛顿、彭加勒、维纳、诺依曼、图灵；有哲学大师，如笛卡尔、帕斯卡、莱布尼兹、罗素；也有社会活动家，如罗素；有数学研究与教育的管理者，如克莱因(F.Klein,1849-1925)、罗巴切夫斯基(N.J.lobachevsky)；有在政府担任行政职务的官员，如傅立叶(J.Fourier,1768-1830)。

　　数学家的政治立场或者宗教信仰也呈现多元化特征，如柯西(A.Cauchy,1789-1857)是偏执的天主教徒，哈代是古怪的无神论者；高斯非常保守，伽罗华(E.Galois,1811-1832)则是热情的革命家，而年青的德国数学家O?泰西米勒却成了狂热的纳粹分子。

　　在纳粹德国，像勒纳德把物理学分为雅利安物理学与非雅利安物理学一样，也有人把数学家按照种族和血统分类。柏林大学教授比伯巴赫把数学家分为J-数学家和S-型数学家。他认为，J-数学家是德国人，S-型数学家则是法国人和犹太人。玩弄雕虫小技和概念游戏，是敌视生活毫无生气的S-型数学家本性的暴露，地道的J-数学家有高斯、克莱茵和希尔伯特，J-数学家登峰造极的成就之一，就是希尔伯特关于公理化的工作，遗憾的是那些S-型的犹太抽象思想家已经将它糟踏成一种知识的杂耍[2]。

2、数学上的奖励

　　作为一名发明家和工业家，诺贝尔决定不设立数学奖，其原因很可能只是由于他对数学或理论科学没有特殊的兴趣，他认为数学不是人类可以直接从中获益的科学。他在遗嘱中提到，这些奖项要用于奖励那些对人类具有巨大实现利益的“发明或发现”。也许正是根据这一精神，在历年的诺贝尔物理学奖得主中，从事实验科学的人要比从事理论科学的人多得多。

　　数学界却不能容忍自己的研究工作没有最高的评价等级。正是在这种背景下，世界上先后树起了两个国际性的数学大奖：一个是国际数学家联合会主持评定的，在四年召开一次的国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖；另一个是由沃尔夫基金会设立的一年一度的沃尔夫数学奖。这两个数学大奖的权威性、国际性，以及所享有的荣誉都不亚于诺贝尔奖，因此被世人誉为“数学中的诺贝尔奖”。

　　菲尔兹奖是以已故加拿大数学家.教育家J.C. 菲尔兹的姓氏命名的。菲尔兹奖的最大特点是奖励40岁以下的年轻人，即奖励那些能对未来数学发展起重大作用的人。菲尔兹奖是一枚金质奖章和1500美元的奖金。奖章的正面是阿基米德的浮雕头像。就奖金数目来说与诺贝尔奖金相比可以说是微不足道，但它的地位如此崇高原因有三：第一，它是由数学界的国际权威学术团体―国际数学联合会主持，从全世界的一流青年数学家中评定.遴选出来的；第二，它是在每隔四年才召开一次的国际数学家大会上隆重颁发的，且每次一般只2名获奖者，因此获奖的机会比诺贝尔奖还要少；第三，也是最根本的一条是由于得奖人的出色才干，赢得了国际社会的声誉，他们都是数学天空中升起的灿烂明星，是数学界的年轻精英。

　　由于菲尔兹奖只授予40岁以下的年轻数学家，所以年纪较大的数学家没有获奖的可能。恰巧1976年1月，R. 沃尔夫及其家族捐献1000万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学.艺术的发展。沃尔夫基金会设有：数学、物理、化学、医学、农业5个奖（1981年又增设艺术奖）。1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，每个奖的奖金为10万美元，可以由几人分得。由于沃尔夫数学奖具有终身成就奖的性质，所有获得该奖项的数学家都是享誉数、.闻名遐迩的当代数学大师，他们的成就在相当程度上代表了当代数学的水平和进展。该奖的评奖标准不是单项成就而是终身贡献，获奖的数学大师不仅在某个数学分支上有极深的造诣和卓越贡献，而且都博学多能，涉足多个分支，且均有建树，形成了自己的著名学派，他们是当代不同凡响的数学家。

3、高斯：天才数学家

　　高斯是德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。

　　据说高斯10岁时就很快算出了一道复杂的算术题81297+81495+81693+…+100899（这是一个公差为198、项数为100的等差数列）。

　　高斯于1799年获得博士学位。1807年，高斯赴哥廷根就任哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位。高斯的到来为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。

　　高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有“数学王子”、“数学家之王”的美称，被认为是人类有史以来“最伟大的几位数学家之一”（如阿基米德、牛顿、高斯、欧拉、希尔伯特等）。

　　高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18～19世纪之交的中坚人物。

　　1802年，高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授；1877年，丹麦政府任命他为科学顾问，德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。

4、伽罗华：早逝的斗士

　　伽罗华是法国数学家，是一个富有传奇色彩的人。伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题。许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了。直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研究才算迈出重要的一步。伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法，从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上。同时创立了具有划时代意义的数学分支--群论，数学发展史上作出了重大贡献。

　　1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作。

　　1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了。以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。

　　1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数学家泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。

　　1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友保存下来。1832年5月31日因参加无意义的决斗受重伤致死，离开了人间。

　　1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔（J.Liouville）着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上。

5、康托尔：疯人数学家

　　康托尔是德国数学家。康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。从而解决17世纪牛顿与莱布尼兹创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西、魏尔斯特拉斯等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论。

　　康托尔的老师克隆尼克（L.Kronecker,1823-1891），是最强烈反对集合论的一个数学家。他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达10年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔，阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位，使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。

　　还有很多科学家也反对集合论。法国数学家彭加勒认为集合论是一个有趣的“病理学的情形”。德国数学家魏尔（C.H.Wey1，1885-1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。康托尔的好友数学家施瓦兹，由于反对集合论而同康托尔断交。

　　从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位。健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世。

6、罗巴切夫斯基：管理型数学家

　　罗巴切夫斯基1792年生于俄国下诺伏哥罗德（今高尔基城），1807年进入喀山大学，1811年毕业并获硕士学位。罗巴切夫斯基毕业后留校任职，历任教授助理、非常任教授、常任教授、物理数学系主任，35岁被任命为校长。1846年以后任喀山学区副督学，直至逝世。如果没有罗氏几何学，罗巴切夫斯基只能算一个优秀的科学与教育管理者。

　　罗巴切夫斯基与波尔约(J.Bolyai)以及高斯等人彼此独立地创立了一种非欧几里得几何学，即罗巴切夫斯基几何学。对几何学和整个数学的发展都起了巨大的作用。

　　人们很早就尝试证明欧几里得几何学中的第五公设，但是直到19世纪以前并没有获得实质性的进展。1816年，罗巴切夫斯基像前人一样尝试证明第五公设，但不久发现，所有的这种证明都无法逃脱循环论证的错误。于是，他作出这样的假定：在平面上，过直线外一点可以有多条直线不与原直线相交。这是一个与第五公设对立的命题， 如果它被否定，那无异于证明了第五公设。但是，他发现不仅无法否定这个命题，而且将它与绝对几何即与平行公设无关的几何学中的定理一起展开推论，可以得到一系列前后一贯的命题，它们构成了一个逻辑合理,且与欧氏几何彼此独立的命题系统，他称之为“虚几何学”。 这是一个非同寻常的发现，它告诉人们数学允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立体系具有同样的真理性。

　　1826年2月23日罗巴切夫斯基以《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》为题，宣读了他的关于非欧几何的论文，但这篇革命性的论文没有被理解而未予通过。1829年他将这一卓越发现写进了《论几何学基础》，并在《喀山通报》上发表。以后又用法文发表了《虚几何学》(1837)。用德文写了《平行线理论的几何研究》(1840)。最后一本用俄、法两种文字写的《泛几何学》，在他逝世前一年(1855)发表。

　　罗氏几何的创立没有及时引起重视，直到他去世后12年(1868)意大利数学家E.贝尔特拉米证明了在欧氏空间的伪球面上有着片断罗巴切夫斯基平面的几何学，这样罗氏几何在欧氏空间的曲面上才得到解释，并在数学上得到确认。罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也有一定成就，如区分了函数的可微性与连续性的概念，提出了数字系数高次方程近似解法等。 　

7、希尔伯特：领袖型数学家

　　希尔伯特是对20世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家，如内特、外尔。外尔后来与希尔伯特在数学基础的基本观点上发生了分歧，追随了反对他的直觉主义者布劳威尔。

　　按时间顺序，希尔伯特的主要研究内容有：不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。

　　希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。

　　希尔伯特是一位正直的科学家。第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。

　　由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的格廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。

8、罗素：全能型数学家

　　罗素在很多领域占有一席之地，他是哲学大师，获过诺贝尔文学奖，积极参与反对发展核武器的社会活动中，他的四次浪漫的婚姻经历也为爱情的研究提供了丰富的资料。

　　罗素的家庭中父母双方都是辉格党贵族。他是著名的自由主义政治家约翰.罗素勋爵的孙子。这位勋爵曾三次出任首相，1832年曾提出第一个国会改革法案，后来又被封为罗素家第一代伯爵，罗素本人在他的长兄弗兰克1931年逝世后成为第三代罗素伯爵。罗素4岁前已父母双亡，他是在祖母和家庭教师抚养、教育下长大的。后进入剑桥三一学院并取得数学奖学金，1890年他在三年级时转学哲学，并于1894年取得学位。罗素曾四次结婚，三次离婚。

　　他因为政治原因曾经两次被判监禁。一次是1918年，因犯了对美军的诽谤罪被监禁六个月（在狱中写成了《数理哲学导论》），另一次是1961年他89岁时，因煽动民众反对政府、支持核裁军运动，在医院被监禁一星期。他的政治观点总是激进的，始终对共产主义怀有敌意。到了晚年，他开始认为共产主义的胜利并不比全面核战争的后果更不幸。他是一个最能打动听众的辩论家，是一个对物理学和社会科学都能阐述得深入浅出的普及者，是一个对他所信仰的自由事业的强有力的鼓吹者。

　　罗素是当代西方最知名和最有影响的哲学家之一，他在数理逻辑的研究领域曾做出过开创性的贡献，同时他还是一位社会活动家和政论家。由于他多方面的成就，他一生曾获得过多种荣誉，包括1950年的诺贝尔文学奖。在哲学上，他的观点大抵早期是属于新实在主义的，晚年逐渐转向逻辑实证主义。

9、内特：女数学家中的佼佼者

　　内特是20世纪初德国杰出的女数学家，抽象代数的创始人之一。

　　与其他数学家不同的是，内特作为一个女性在数学领域做出杰出的贡献不但少见，而且成长过程更加艰难。内特走上数学家之路，主要是她的父亲的影响。父亲的犹太家史和数学家气质综合成了诺特特有的生活环境、成长条件和后来的境遇。由于当时德国妇女不得为大学正规学生，她只能在埃朗根大学和哥廷根大学作为不注册的旁听生攻读数学，最终她于1904年获准注册于埃朗根大学，遂能于1907年在该校获得博士学位。

　　1916年，内特前往哥廷根，和希尔伯特、克莱因等伟大的数学家一起工作。即使有希尔伯特的努力争取，内特也没能获取讲师资格，原因是她是女的。希尔伯特只能以自己的名义开课、由内特讲课的方式帮助她。直到1919年，37岁的内特才取得授课资格，但从未获官方职位。也就是说，这是个没有薪金的大学最低学位，它只赋予上台讲课的资格，不负责讲课后的报酬，报酬得由前来听课的学生的支付。1922年，哥廷根大学任命她为“非官方副教授”，作为既承认内特表现出的数学才能又不放弃对妇女的歧视政策的一种折衷办法，至此能够获得每月300马克左右的象征性工资。到1933年，内特的不少学生早就当上了教授，而她一直是哥廷根大学的编外人员。

　　1933年因为纳粹政府驱逐犹太科学家而被迫逃离德国到美国，在布林莫尔学院和普林斯顿高等研究院工作。1935年4月14日，内特因患癌症去世。

10、怀尔斯：谨慎的屠龙者

　　怀尔斯因解决了350年来悬而未决的费马大定律而闻名世界。

　　怀尔斯1953年4月11日生于英国剑桥，1971年入牛津大学学习, 1980年获该校博士学位。怀尔斯的一位导师认为他具有两个显著的数学禀赋，一是他优先于一切地要去证明困难的具体定理，而不愿去作优美的无所不包的猜想.；二是他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果。

　　费马大定理又称费马最后定理，是著名法国数学家费马在约1637年写下的一个猜想：对于任意大于2的整数n , 不可能有非零的整数 a, b, c满足 。350多年很多数学家尝试过解决费马大定理，直到1993年终不能完全证明。

　　怀尔斯在10岁读贝尔的著作《最后的难题》，开始被费马达定律迷住。曾一度着手证明，但由于毫无进展而转向了椭圆曲线问题。1986年，肯?里贝证明：有一个尚未被证明的猜想，即所谓的谷山-志村猜想，能够导出费马大定理，可要证明这个猜想也决非易事。

　　1986年怀尔斯得知里贝的结果后，重新燃起了研究费马大定律的热情。潜心7年，终于在1993年6月23日上午10点半左右在英国剑桥大学牛顿研究所，在连续三天的讲演的最后, 概述证明了谷山－志村猜想的一大部分，从而证明了费马大定理。这一结论立刻震动了世界，有人称他为“世界的屠龙者”，尽管只有极少的数学家能够理解这个技术性很强的证明。

　　但数月后，怀尔斯的证明逐渐被发现有问题.。怀尔斯继续进行非常艰苦的多种证明尝试， 在一位同事的帮助下，1994年9月怀尔斯最终完成了历史性长篇论文“模椭圆曲线和费马大定理”。论文于19995年发表在《数学年刊》上。怀尔斯的论文迅速得到国际数学界的承认，他因此于1996年获得沃尔夫奖，成为最年轻的沃尔夫奖获得者。

注：

　　1、王青建，数学是什么，《自然辩证法研究》，2000（1）。

　　2、GH哈代，李文林译，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996年。P124-126。