主题：[原创]《国人偏爱高科技》读后感 -- 秦三光

百度、爱问、搜搜问问到处都有解答的问题，楼主洋洋洒洒拉出这么一大堆S是何苦？

假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0<x<a/b,则

0<f(x)<(∏^n)(a^n)/(n!)

0<sinx<1

以上两式相乘得：

0<f(x)sinx<(∏^n)(a^n)/(n!)

当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有

0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）

又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)

由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。

又因为

d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有：

∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0）

=F(∏)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无理数。