主题：【原创】费尔马之谜 -- 淮夷

我最近读了一本书叫做《Fermat's Enigma》（费尔马之谜），一本关于数学的科普书。这本书谈及一些抽象的数学概念，有的是小学生都理解的，比如素数、有理数、无理数；也有一些概念令我挠头，比如群论、模形式、椭圆方程。

坦率说，数学很难，但这本书并不难读。恰恰相反，它是我近年读过的最有趣的科学书籍之一，悬念丛生，妙论连连，精彩之处远超一本侦探小说。

古人相信数字之中暗含天道。比如此书提及毕达哥拉斯一生致力于寻找所谓的“perfect numbers”（完美数字）。所谓perfect number是指一个数字的全部除数相加，等于该数字自身。比如，6是一个完美数字。因为6的除数是1，2，3，而1+2+3=6。另一个完美数字是28，因为1+2+4+7+14=28。

6和28这样的完美数字与天意究竟有何相关呢？书中写道，6是完美的，所以上帝用了6天来创造世界。28亦是完美的，是以月球每隔28天绕地球一周。这些解释固然有趣，却终究是古人的牵强附会，当不得真。不过，《费尔马之谜》一书还提到一些自然界现象，其实是可用真正的数学来给予解释。

譬如在北美有一种奇异的昆虫，叫做“十七年蝉”。这种蝉在地下蛰伏长达17年之久，之后它们集体钻出地面，产卵后迅速死去。为何它的寿命是17年，而不是16年、15年或其它年份？

这似乎是生物学之谜，但是数学提供了很巧妙的分析。此蝉有一种寄生虫，蝉的一生尽量回避遇到它的寄生虫。假如寄生虫的寿命期是2年，那么蝉的寿命期要回避被2整除的数字，比如4年、6年、8年，否则，蝉出土之时将和寄生虫发生有规律的相遇。与之相仿，若寄生虫的寿命期是3年，蝉的寿命最好要回避6年、9年、12年。

最终，蝉的最佳生存策略，乃是逐渐进化出一个足够长的寿命期，且这个寿命期必须是数学中的素数（prime numbers），亦即不能被其他的数字整除。于是自然进化的结果造成蝉的寿命达到了17年。17是一个很大的素数，与寄生虫相遇的概率微乎其微。

从进化论来看，寄生虫的最佳策略，便是和蝉进化出同样的寿命期：17年。这样的话，蝉17年后出土之时，寄生虫正好迎头赶上。这个策略是没错的，但是寄生虫终究败给了素数。试想，当寄生虫的寿命逐渐进化到16年时，它遇到蝉的频率竟然低到每272年（17年 x 16年）才能碰到一次。实际上还没等寄生虫进化到17年的寿命，它们早就饿死而绝。这就是素数的魔力。

用数学解释进化论现象的事例在书中随手可拾。作者用一支举重若轻的笔，引领读者走进数学世界，最终抵达费尔马猜想（Fermat's Last Theorem），数学史上最著名的难题之一。

费尔马是法国17世纪的业余数学家，他的本职工作是一个小镇的公务员，在业余时间喜欢研究数学问题。以今日的流行说法，费尔马是一个民间科学爱好者。尽管今天人们说起“民科”总是带有三分轻蔑，可是在费尔马的时代，科学研究尚未发展到后世那般的精细分工，乡野中间不乏真正的智者。

费尔马最喜欢读的一本书，叫做《Arithmetica》（算术），是古代希腊的数学家Diophantus的一本代数著作。书中提到了一些看似简单实则考验脑力的代数问题，比如最少需要几个砝码，可以称重1-40公斤内的任何重量？大多数人凭直觉和试验，认为最少要6个砝码，分别是1，2，4，8，16，32公斤。

这个答案看似不错，却不是最佳的。人们陷入一个思维误区，觉得砝码只能放在天平一侧，重物放在另一侧。实际上轻的砝码可混合在重物里，通过减法来更巧妙的称重。比如，2公斤重物可用3公斤砝码减掉1公斤砝码称出来，并不专门需要一个2公斤砝码。是故，此问题的最佳答案是1，3，9，27四个砝码，就足够了。

类似称重这样的代数问题，对费尔马的智商来说，实在是小菜一碟。他的目光停留在《算术》一书中的毕达哥拉斯定理，然后灵光一现，得到了一个伟大的猜想。

毕达哥拉斯定理在中国古代被称为勾股定理，对于任一直角三角形，等式x2+y2=z2始终成立。费尔马猜测，假如把这个等式的平方数扩大到三次方、四次方、甚至更高阶，是没有整数答案的。这个猜想可以表述如下：

xn+yn=zn，当n＞2，此方程没有整数解。

这就是著名的“费尔马猜想”。费尔马说，他已经找到一个奇妙的证明方法，然后他在书边上写下一句很拽的话：“This margin is too narrow to contain it”（此处地方太小，写不下了证明了）

费尔马的猜想，乍看之下，似乎并无实用价值。但是数学的魅力，并不在于仅仅帮助人们解决丈量土地或修造建筑这样的实用问题，而是开启人类认识世界的智慧。

费尔马死后的三百多年，很多人均试图证明费尔马猜想，这些人不乏欧拉、柯西、热尔曼等数学天才，结果均以失败告终。我记得王小波的小说《红拂夜奔》也拿数学恶搞，他说唐代的李靖证明出了费尔马猜想，并把证明画在一本小儿书里面。

二战之后出现了计算机，数学家可以借助计算机的海量计算能力，来不停地测算费尔马猜想的正确性。计算机一直运行下去，当n是400万以内的素数时，费尔马猜想一直都是正确的。可是，计算机永远不能证明费尔马猜想，因为n可以是无穷大的。

要证明无穷大的猜想，只有一个办法：逻辑。从一个简单的公理出发，借助严密的逻辑，可以证明复杂的定理。全部的数学均由逻辑而来，就像中学的几何题证明一样，你不需要计算机，需要的只是一张纸，一支笔。

一纸一笔搞定费尔马猜想，三百年来无人做得到。直到1963年，出现了一个小孩。

书中写至此处，颇有些武侠小说的气息。就像少林老头用一根扫地笤帚轻松放倒乔峰慕容复这些绝顶高手，小孩凭着一颗坚持到底的童心而不是复杂的计算仪器，最终征服了费尔马猜想。

这个小孩是英国人叫Andrew Wiles。1963年，十岁的Andrew放学回家，路经一个图书馆偶然翻看一本数学书，书中提到了费尔马猜想。尽管数学界诸多前辈都没有证明成功，小孩Andrew还是拿起纸笔开始推导起来。

这种小学生的推导自然毫无所获。不过，Andrew始终未曾放弃他的坚持。长大后的Andrew在剑桥研究椭圆方程，80年代去了普林斯顿大学当老师。当时的数学界已经发现，费尔马猜想可以与谷山-志村猜想联系在一起。谷山-志村猜想认为所有的椭圆方程都是模形式（Every elliptic equation must be modular.），这为打开费尔马猜想提供了一扇门。

Andrew下定决心在普林斯顿闭门研究，试图解开费尔马之谜。7年间，Andrew宅在家里，苦思冥想，偶有所得，便记在纸条上。这听来像是贾岛骑驴作诗的法子，想到妙句便投入驴背的布囊之中。

终于在1993年，与世隔绝的Andrew完成了全部推导，非有绝大毅力之人，断做不到。在一个数学研讨会上，Andrew重出江湖，在黑板上刷刷地写出无懈可击的证明过程。他面对全场被惊呆的数学家们，微笑道：I think I'll stop here. 困扰了世间三百年的费尔马猜想终于证明。

(Andrew的历史性时刻）

值得一提的是Andrew有一位非常安静的妻子，名字叫Nada。7年之间，Nada是唯一知道Andrew秘密研究的人，她什么都没有做，但是她的默默无声或许正是Andrew最需要的。巧合的是Nada这个单词是我最近学的，意思是doing nothing，亦属人如其名。

王小波说“每一本书都应该有趣”。《Fermat's Enigma》是一本有趣的书，书中的数学之美和数学家之痴，不仅有趣，更令人若有所思。掩卷之际，忽然想到了陶渊明的诗：此中有深意，欲辨已忘言。

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