五千年(敝帚自珍)

主题:【原创】费尔马之谜 -- 淮夷

共:💬27 🌺245
全看树展主题 · 分页首页 上页
/ 2
下页 末页
家园 【原创】费尔马之谜

点看全图

外链图片需谨慎,可能会被源头改

我最近读了一本书叫做《Fermat's Enigma》(费尔马之谜),一本关于数学的科普书。这本书谈及一些抽象的数学概念,有的是小学生都理解的,比如素数、有理数、无理数;也有一些概念令我挠头,比如群论、模形式、椭圆方程。

坦率说,数学很难,但这本书并不难读。恰恰相反,它是我近年读过的最有趣的科学书籍之一,悬念丛生,妙论连连,精彩之处远超一本侦探小说。

古人相信数字之中暗含天道。比如此书提及毕达哥拉斯一生致力于寻找所谓的“perfect numbers”(完美数字)。所谓perfect number是指一个数字的全部除数相加,等于该数字自身。比如,6是一个完美数字。因为6的除数是1,2,3,而1+2+3=6。另一个完美数字是28,因为1+2+4+7+14=28。

6和28这样的完美数字与天意究竟有何相关呢?书中写道,6是完美的,所以上帝用了6天来创造世界。28亦是完美的,是以月球每隔28天绕地球一周。这些解释固然有趣,却终究是古人的牵强附会,当不得真。不过,《费尔马之谜》一书还提到一些自然界现象,其实是可用真正的数学来给予解释。

譬如在北美有一种奇异的昆虫,叫做“十七年蝉”。这种蝉在地下蛰伏长达17年之久,之后它们集体钻出地面,产卵后迅速死去。为何它的寿命是17年,而不是16年、15年或其它年份?

这似乎是生物学之谜,但是数学提供了很巧妙的分析。此蝉有一种寄生虫,蝉的一生尽量回避遇到它的寄生虫。假如寄生虫的寿命期是2年,那么蝉的寿命期要回避被2整除的数字,比如4年、6年、8年,否则,蝉出土之时将和寄生虫发生有规律的相遇。与之相仿,若寄生虫的寿命期是3年,蝉的寿命最好要回避6年、9年、12年。

最终,蝉的最佳生存策略,乃是逐渐进化出一个足够长的寿命期,且这个寿命期必须是数学中的素数(prime numbers),亦即不能被其他的数字整除。于是自然进化的结果造成蝉的寿命达到了17年。17是一个很大的素数,与寄生虫相遇的概率微乎其微。

从进化论来看,寄生虫的最佳策略,便是和蝉进化出同样的寿命期:17年。这样的话,蝉17年后出土之时,寄生虫正好迎头赶上。这个策略是没错的,但是寄生虫终究败给了素数。试想,当寄生虫的寿命逐渐进化到16年时,它遇到蝉的频率竟然低到每272年(17年 x 16年)才能碰到一次。实际上还没等寄生虫进化到17年的寿命,它们早就饿死而绝。这就是素数的魔力。

用数学解释进化论现象的事例在书中随手可拾。作者用一支举重若轻的笔,引领读者走进数学世界,最终抵达费尔马猜想(Fermat's Last Theorem),数学史上最著名的难题之一。

费尔马是法国17世纪的业余数学家,他的本职工作是一个小镇的公务员,在业余时间喜欢研究数学问题。以今日的流行说法,费尔马是一个民间科学爱好者。尽管今天人们说起“民科”总是带有三分轻蔑,可是在费尔马的时代,科学研究尚未发展到后世那般的精细分工,乡野中间不乏真正的智者。

费尔马最喜欢读的一本书,叫做《Arithmetica》(算术),是古代希腊的数学家Diophantus的一本代数著作。书中提到了一些看似简单实则考验脑力的代数问题,比如最少需要几个砝码,可以称重1-40公斤内的任何重量?大多数人凭直觉和试验,认为最少要6个砝码,分别是1,2,4,8,16,32公斤。

这个答案看似不错,却不是最佳的。人们陷入一个思维误区,觉得砝码只能放在天平一侧,重物放在另一侧。实际上轻的砝码可混合在重物里,通过减法来更巧妙的称重。比如,2公斤重物可用3公斤砝码减掉1公斤砝码称出来,并不专门需要一个2公斤砝码。是故,此问题的最佳答案是1,3,9,27四个砝码,就足够了。

类似称重这样的代数问题,对费尔马的智商来说,实在是小菜一碟。他的目光停留在《算术》一书中的毕达哥拉斯定理,然后灵光一现,得到了一个伟大的猜想。

毕达哥拉斯定理在中国古代被称为勾股定理,对于任一直角三角形,等式x2+y2=z2始终成立。费尔马猜测,假如把这个等式的平方数扩大到三次方、四次方、甚至更高阶,是没有整数答案的。这个猜想可以表述如下:

xn+yn=zn,当n>2,此方程没有整数解。

这就是著名的“费尔马猜想”。费尔马说,他已经找到一个奇妙的证明方法,然后他在书边上写下一句很拽的话:“This margin is too narrow to contain it”(此处地方太小,写不下了证明了)

费尔马的猜想,乍看之下,似乎并无实用价值。但是数学的魅力,并不在于仅仅帮助人们解决丈量土地或修造建筑这样的实用问题,而是开启人类认识世界的智慧。

费尔马死后的三百多年,很多人均试图证明费尔马猜想,这些人不乏欧拉、柯西、热尔曼等数学天才,结果均以失败告终。我记得王小波的小说《红拂夜奔》也拿数学恶搞,他说唐代的李靖证明出了费尔马猜想,并把证明画在一本小儿书里面。

二战之后出现了计算机,数学家可以借助计算机的海量计算能力,来不停地测算费尔马猜想的正确性。计算机一直运行下去,当n是400万以内的素数时,费尔马猜想一直都是正确的。可是,计算机永远不能证明费尔马猜想,因为n可以是无穷大的。

要证明无穷大的猜想,只有一个办法:逻辑。从一个简单的公理出发,借助严密的逻辑,可以证明复杂的定理。全部的数学均由逻辑而来,就像中学的几何题证明一样,你不需要计算机,需要的只是一张纸,一支笔。

一纸一笔搞定费尔马猜想,三百年来无人做得到。直到1963年,出现了一个小孩。

书中写至此处,颇有些武侠小说的气息。就像少林老头用一根扫地笤帚轻松放倒乔峰慕容复这些绝顶高手,小孩凭着一颗坚持到底的童心而不是复杂的计算仪器,最终征服了费尔马猜想。

这个小孩是英国人叫Andrew Wiles。1963年,十岁的Andrew放学回家,路经一个图书馆偶然翻看一本数学书,书中提到了费尔马猜想。尽管数学界诸多前辈都没有证明成功,小孩Andrew还是拿起纸笔开始推导起来。

这种小学生的推导自然毫无所获。不过,Andrew始终未曾放弃他的坚持。长大后的Andrew在剑桥研究椭圆方程,80年代去了普林斯顿大学当老师。当时的数学界已经发现,费尔马猜想可以与谷山-志村猜想联系在一起。谷山-志村猜想认为所有的椭圆方程都是模形式(Every elliptic equation must be modular.),这为打开费尔马猜想提供了一扇门。

Andrew下定决心在普林斯顿闭门研究,试图解开费尔马之谜。7年间,Andrew宅在家里,苦思冥想,偶有所得,便记在纸条上。这听来像是贾岛骑驴作诗的法子,想到妙句便投入驴背的布囊之中。

终于在1993年,与世隔绝的Andrew完成了全部推导,非有绝大毅力之人,断做不到。在一个数学研讨会上,Andrew重出江湖,在黑板上刷刷地写出无懈可击的证明过程。他面对全场被惊呆的数学家们,微笑道:I think I'll stop here. 困扰了世间三百年的费尔马猜想终于证明。

点看全图

外链图片需谨慎,可能会被源头改

(Andrew的历史性时刻)

值得一提的是Andrew有一位非常安静的妻子,名字叫Nada。7年之间,Nada是唯一知道Andrew秘密研究的人,她什么都没有做,但是她的默默无声或许正是Andrew最需要的。巧合的是Nada这个单词是我最近学的,意思是doing nothing,亦属人如其名。

王小波说“每一本书都应该有趣”。《Fermat's Enigma》是一本有趣的书,书中的数学之美和数学家之痴,不仅有趣,更令人若有所思。掩卷之际,忽然想到了陶渊明的诗:此中有深意,欲辨已忘言。

关键词(Tags): #Fermat's Enigma(当生)#费尔马之谜(当生)#数学(当生)#Andrew(当生)#费尔马(当生)元宝推荐:海天,不爱吱声,水风, 通宝推:tt086071,唐家山,金色阳光,ljsqt,猪头大将,老木,上古神兵,桥上,非信,善良的恶霸地主,Wjwu,一无所之,游识猷,池塘中的雨滴,乌柏,一条溺水的鱼,水风,煮酒正熟,李根,

本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)
家园 Andrew大牛, 普林更牛啊!

7年, Andrew Wiles看上去什么都不在做. 普林工资照发, 问都不问(我猜的)!

家园 不会是业余做的吧。。。

我也觉得很奇怪。。。

家园 费马大定理的证明是二十世纪的一个传奇

二十一世纪的传奇将会是什么呢?我们能在有生之年亲眼目睹黎曼猜想被证明吗?

家园 庞加莱猜想已被解决,相信黎曼猜想终能解决。
家园 实际上第一次给出的推导是有问题的

后来又花了一年多时间才补救过来。

家园 好像是他的老师给找挑出的问题。

家园 忘记了,其实楼主看的那本书里说得详细
家园 不是这样

我记的Andrew Wiles自己有些存货,每年也发表一些文章。

家园 Nada为什么是doing nothing,而不是

nothing呢?因为在西班牙语里面,nada只是nothing的意思。

家园 其实不是这样的

我4,5年前听过andrew的讲座, 他当时针对这个说法做了一点说明:

他之前积攒了一些结果, 这七年期间他慢慢的把这些结果拿出来发表. 所以从校方看来他并不是一点没有产出. 呵呵

家园 呵呵,原来如彼
家园 琉球的方言是眼泪
家园 谢谢各位的评论和推荐

我用的这个愚蠢的代理是限时登录,无数次拨号,随时掉线,访问一次网站十分困难。恕不一一回应了,抱歉。

家园 数学的趣味就在这里

一个如此简洁的猜想,却花了那么多天才,300多年的时间,并在开发了很多数学工具的基础上才最终证明出来。而费马在300多年前兴许真的已经有一个绝妙并且简洁的证法了。

全看树展主题 · 分页首页 上页
/ 2
下页 末页


有趣有益,互惠互利;开阔视野,博采众长。
虚拟的网络,真实的人。天南地北客,相逢皆朋友

Copyright © cchere 西西河