主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

大家看一些数学或物理的科普读物的时候，有时候会看到一些行话：”变换群“啦，”整数环“啦，”实数域“”复数域“啦。一般不给你解释的，行话嘛。

其实这些”群“”环“”域“都是属于一类叫”代数结构“的东西，而这”代数结构“，是一种”数学结构“。这又来了俩行话。不过”结构“这个词，就不单单是数学里的事情了。比如藏猫猫同学讲建筑结构：藏猫猫:【原创】纸上谈匠· “結”与“構”，就和数学没啥关系，土木工程的同学们把这个词也当作他们的行话。还有许多其他的领域也是这样：

于是我就在后面回了个帖：我的理解是，“结构”不是一种实物，而是一种关系

这话对土木结构来说是这样的，什么社会结构语言结构分子结构地质结构经济结构等等都是这样。对数学结构来说更是这样。关于土木结构我了解得不多不敢下定论，但是关于数学结构，我要强调的就是：数学结构就是数学对象之间的关系（的总和）。

光这么云里雾里咬文嚼字地扯淡没意思，举个例子看看。

我如果写：

1 2 3 5 4 6 7 8 9 10 11 ……

大家会觉得别扭，觉得这5和4好像写倒了。为什么呢？因为大家不自觉地觉得自然数有一个大小次序。这个”大小“，就是自然数之间的一种关系。随便拿两个不一样的自然数比方4和5吧，我们知道4<5，“x比y小”就是x和y之间的一种关系。有关系就出结构，按照行话来说，这个大小关系形成的次序，就叫“全序结构”，里面的“全”是说每两个自然数都能比出谁大谁小来。还有“偏序结构”，这时候两个元素之间不一定能比大小。“全序结构”和“偏序结构”都属于更广泛的“序结构”。

如果我光考虑偶数集，偶数之间照样有大小关系，所以偶数集合上也有个序结构。值得注意的是，如果我们把每个自然数对应到它的两倍，n->2n，这不仅仅是自然数集合到偶数集合上的一个一一对应（对每一个偶数，都有而且只有一个自然数对应到它上面），而且这个一一对应还保存了每一对自然数的大小关系：如果自然数x<y，那么它们对应的偶数2x和2y也有2x<2y的关系。于是这个一一对应保存了序结构。这样的一一对应，我们叫它同构，这是个行话，可是很容易理解不是？“相同的结构”。

就好像同一堆木材不一定只能搭出一种土木结构来，自然数集合上也不是只有一种序结构。按照大小关系是可以排出次序来，但是这次我规定比如说奇数总是排在偶数前面，而奇数和奇数比或偶数和偶数比，那么小的奇数仍旧排在大的奇数前面，偶数也类似。如果用《来表示这种关系的话，1《3《5《7《9《2《4《6《8。这个关系同样在自然数集合上定义出了一个序结构。而且这个序结构和前面那个自然数集合上按大小关系的序结构是不同构的。也就是说，你找不到任何一个自然数到自然数上的一一对应f，还能保存序结构：对任意的x<y，我们还有f(x)《f(y)。这并不难证明。不过要是你不是数学、物理或计算机专业出来的却也能证明，就说明你在数学方面的修养到了一定的火候。

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