主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

这个只有一节，拓扑我也学得不好，没啥好讲的。（9月2日注：又加了一节“流形”）

前面我们在代数结构(1) 什么是结构以及后面几节里讲了数学结构，还看到了诸如序结构，代数结构的例子，今天讲讲另一种数学结构：拓扑空间。

所谓的拓扑空间，就是具有“拓扑结构”的集合（“集合”和“空间”在这里差不多可以互换，叫“空间”暗示着我们的研究对象是一些图形，形成图形的那些点组成了集合）。我们知道结构是由关系形成的，拓扑结构注重的是于空间中的点之间如何“连”在一起的关系。空间中的各个点的关系通过一些叫“开集”的子集合来表述出来。中学里我们学过实数轴上有“开区间”，那就是一个开集，通过这些开区间就可以在实数轴上定义出一个拓扑空间来。应该说，拓扑结构中的通过开集定义出来的关系，和序结构以及代数结构中的关系比起来，是相当晦涩不直观的。但是它的定义却并不因此而变得复杂，也只有少少的三条公理。

我上面想说的，无非就是拓扑空间也是一种数学结构。把数学研究的对象看作是数学结构的观点，叫“结构主义”。其他学科中比如语言学中也有结构主义的观点，其中有受数学结构主义的影响的部分，但是这些数学以外的结构主义我不熟悉也不关心，就不说了。结构主义的观点是法国的布尔巴基学派提出来的，他们的巨著《数学原理》用结构主义的思想总结和整理了到那时为止的大部分的数学内容。结构主义的观点是相当有效的，甚至可以说是极其有效的，但是有效性在某些数学领域就不是那么明显，尤其是在离散数学方面。我的看法是，在科学研究方面，采取“某某主义”的态度应该是机会主义的：什么主义有用，用起来有效，就用什么主义。这个形而上的问题就扯到这里。

既然是数学结构，当然也讲同构。拓扑空间之间的同构叫做“同胚”，也许翻译者的意思是“一个胚子里做出来的”，但是千万不要字面上这么理解了。粗略地直观地说，两个空间图形是同胚的，如果其中一个可以连续地变换到另一个上去，这里的连续是说“不撕裂，不粘贴”。比如在橡皮膜上画一个圆，我们可以把橡皮膜尽力往四边一拉，这个圆就会被扯大；如果有些地方拉得重，有些地方拉得轻，圆会变形；如果拉得方式巧妙，这圆甚至可以被拉出棱角来，可以变成一个长方形或者一个三角形。但是你不能把橡皮膜给撕裂，把圆周扯裂了，变成了一条不封闭的线；也不能拿点浆糊把圆周上某两个点粘成同一个点，让圆周变成8字形。拓扑学可以看作是研究空间图形在连续的变换下还能保持不变的性质的学科。

从拓扑学家的角度来看，两个同胚的拓扑空间是一样的，是同一个东西，道理跟代数学家觉得两个同构的群或域是同一个东西一样。对于拓扑学家来说，三角形或者长方形或者圆周都是同胚的，是同一个东西，但是和一条不封闭的线或者8字形却不同。所以拓扑学被称为“橡皮膜上的几何学”。圆周是一条一维的曲线，但是更高维的空间也是同一个道理，比如正方体的表面可以想象成是橡皮膜，如果我们往里吹气的话，它会鼓起来变成一个球面，于是从拓扑学家的观点来看，正方体的表面和球面是同胚的，是同一种东西。但是轮胎面你怎么吹气也吹不出球面来，它当中总有一个洞。相反地，如果是一个带一个环柄的茶杯的表面（想象茶杯的表面也是橡皮膜而中间是空的），那么往这个茶杯面里面充气，最后也会鼓成一个轮胎面：茶杯凹下去盛水的部分在充足够气后总会鼓起来，细细的柄也可以鼓得很粗，但是杯柄和杯壁形成的那个孔洞却永远不会因为充气而消失，所以最后会被吹成轮胎面或者甜甜圈的表面。

从另一个方面也可以看出球面和甜甜圈面的不同：在球面上画一条封闭的，不自相交的曲线，然后拿剪刀把球面沿着这条曲线剪开，我们必定会把球面剪成两块。但是甜甜圈面上我却可以画一条曲线，比如这个图上

无论选哪条圆圈来剪开，都不会把甜甜圈面剪成两块。

于是从拓扑学家的观点来看，球面和甜甜圈面是不同的，但是茶杯表面和甜甜圈表面是同胚的。这就是为什么有笑话说：拓扑学家就是那些分不清茶杯和甜甜圈的人。这还不是最恶毒的，我听过的一个版本是拓扑学家搞不清地上有个洞和屁股的区别……

在这里我们可以看见拓扑和几何的关系。拓扑和几何一样也研究空间图形，但是它不关心“两点间的距离”这类性质，因为把橡皮膜扯一扯，两点的距离就变化了。比如几何学家觉得甜甜圈面和茶杯面还是不一样，甜甜圈的那个环是均匀粗细的，茶杯面的柄却比其他部分细。但是拓扑学觉得这没区别。拓扑学关心的是“连在一起”，“怎么连”的问题。球面上的点之间连在一起比较简单，绕无论哪条封闭曲线剪上一圈就可以把球面剪成两块，但是甜甜圈面上的点却似乎“通过好几个方向”连在一起，一圈可能剪不断。这其实是单连通和多连通的区别。又比如橡皮膜上有一个圆，你再怎么扯，这个圆还是把圆里圆外分成了两部分。圆里面的一点和圆外面的一点，你不可能用一条线把它们连起来却不和圆周相交，无论怎么扯橡皮膜（当然还是老规矩，不能扯破或粘贴，也就是变换要连续），圆被扯成奇形怪状，圆里圆外的两点还是被圆周分开。

一讲拓扑学的历史，往往会把欧拉的哥尼斯堡七桥问题拿出来当它的开创问题之一。我总觉得这个问题的解决和图论比较有关系，和今天的拓扑学关系不大，虽然它的解决也用到了类似拓扑学的思想，比如桥的长度和问题无关。见仁见智吧。

如果大家刚开始学拓扑学，那种拓扑学叫“一般拓扑学”又叫“点集拓扑学”，考虑的拓扑空间非常一般，所以会碰上好多怪异的拓扑空间，什么T0啦T1啦T2啦这些空间，T0空间又叫柯尔莫哥洛夫空间，T2空间又叫豪斯道夫空间，后面还有T3，T4，T5等等，甚至还有T2又1/2空间之类的。

其他数学分支的工具可以用来研究拓扑学。我们可以给拓扑空间加上“微分结构”，这是另一种数学结构，这种结构允许我们在拓扑空间上面做类似微积分的计算，这就是微分拓扑。

而用代数学工具来研究拓扑学的分支叫代数拓扑。

我说过分类问题总是学科中的最重要问题之一。在拓扑学里，这个“之一”大概可以去掉。拓扑学家最关心的，就是“一共有多少种曲线”“一共有多少种曲面”之类的问题，当然茶杯表面和甜甜圈表面只能算同一种曲面，而球面则是另一种。

对于某一大类曲面（按行话说是“无边的，紧的，有向的2维曲面”，具体不解释意义了，其中包含球面和轮胎面），要知道其中两个曲面是不是同一种，我们只要数数它上面有多少个洞就可以了，比如球面没有洞，轮胎面有一个洞，而眼镜架的表面则有两个洞……洞的个数一样，那么它们就同胚，个数不一样，它们就不同胚。于是茶杯面有一个洞，它就和轮胎面同胚。洞的个数行话叫“亏格”，不要问我为什么取这名字，我也不知道。我们看到亏格就是刻画这一大类曲面的工具。不仅如此，亏格完美地在刻画了这个大类的曲面：本来想知道两个曲面是否同胚，我们得按照同胚的定义，找到一个一一对应，证明这个一一对应还保持拓扑结构等，麻烦得要死，现在好了，数数有几个洞，两个曲面同胚当且仅当亏格相等。而亏格是一个整数，在这里，我们看到了一个用整数来刻画某一大类曲面的方法。

在更高维的拓扑空间上，光用数来刻画空间性质就比较不方便了，而代数拓扑就可以用群这样的代数结构为工具，来代替数来刻画拓扑空间的性质，比如上面所说的单连通和多连通的性质，就可以用群来表达出来。我会在有关代数结构的帖子里更具体地讲述一些这方面的内容。

• 数学闲话（闲话开始前的闲话）
• 数学闲话（二）——拓扑(2)流形