主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

前面我们看见的序结构，是由一个二元关系决定的。所谓二元关系，就是说那个关系里有两个元素参与。但是所谓的“关系”，可以由更多的元素参与进来，比方说化学分子结构里的苯环结构，总得要六个碳原子一起参与，六个碳原子互相之间的化学键联系和空间位置关系的总体就形成了苯环结构。

数学里也有更多元的关系。比方说一个二元运算就能产生一个三元关系。我们平常做的加减乘除就都是二元运算，1+2=3，6-5=1什么的，两个数相加相减等，最后得出一个结果来。作运算有两个元素，得到一个结果，这样这三个元素就形成了一个关系。这样的关系也就能定义出来数学结构。由运算产生的关系然后定义出数学结构，这样的数学结构我们叫它“代数结构”，研究代数结构的学问当然就叫代数学。

不是数学系学的代数课往往叫高等代数啥的，这名字其实底气不足，说是高等，那是跟中学学的初等代数比。数学系或者是注重数学的物理或信息系，一般把那个课程叫线性代数，以表明那只不过是专门研究线性空间的代数学，而不是一般的代数学。一般的代数学，以前会叫“近世代数”，以表明其比较新的地位。就这还是谦虚的译法，英语里直言Modern Algebra，现代代数，言下之意当然就是你们学的那“高等代数”其实是老掉牙的古代代数。如今这现代或近世也过去好一会儿了，不那么新鲜了，于是大家一般说“抽象代数”，或者干脆就叫“代数学”，简洁中带着牛皮哄哄——这个才是代数，而你们那“高等代数”，咳！不说了。

一说抽象代数，首先要提的就是群环域这些玩意。它们就是一些代数结构。具体的严格定义我在这里就不说了，否则写出来的东西就又会象课本或者维基百科。

但是这不是说不是数学系的人就很难搞懂这些东西的严格定义。专业名词和行话有个好处就是能唬人，群环域啥的就是这样。其实要了解这些东西的定义，对一个普通人来说，并不是遥不可及的。当然要进一步了解理论就困难得多了。就好像陈景润先生研究的哥德巴赫猜想和他的1+2定理，一般人努力一下还是能了解，这是一个有关偶数和素数的关系的问题，不是研究为什么1+1=2和1+2=3。徐迟的著名报告文学中就讲到，陈景润曾让工宣队的工人师傅理解了哥德巴赫猜想说的是什么。但是他的具体理论，那就除了这方面的专家，连其他领域的数学工作者都难以理解。

上面我说了加减乘除。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，所以基本运算其实只有加和乘。加和乘往往有比减和除更好的性质。比如一般的数（比如自然数，整数，有理数，实数，复数）的加和乘都满足结合律：(1+2)+3=1+(2+3)，减法和除法就不行了，(1-2)-3和1-(2-3)就差远了。上面说的那些数集上的加和乘还满足交换律，1+2=2+1。但是有些集合上的加和乘就不一定满足交换律，比如矩阵的乘法就不满足交换律。加法和乘法之间还有分配律：(1+2)*3=1*3+2*3。代数结构就是把这样的带有运算的集合的性质抽象出来（要不怎么叫抽象代数）。

很粗略地说：

半群（半吊子群，还不是真的群，比群少了点东西）是上面能做加法的集合，所以自然数和它上面的加法构成一个半群。

群是上面能做加法和减法的集合。自然数上面有时做不了减法，2-3就不行。但是整数上就可以做减法。

环是上面能作加减乘的集合。整数上就可以做加减乘，所以整数和它上面的加法和乘法（减法因为是加法的逆运算，就不用提了）构成一个环，叫做整数环。

域是上面能作加减乘除的集合（除了不能除以0以外）。整数上不能做除法，3/2就不行。但是有理数，实数，复数上就可以，所以这几个和它们上的加法和乘法就构成了域，分别叫有理数域，实数域和复数域。

当然，这是非常粗略的说法，严格的定义中条件要细致得多。我上面说的是为了让大家理解一下群环域大约是什么样的东西。大家看见这些东西都是从运算产生出来的关系定义出来的数学结构，所以它们都是代数结构。

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