主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

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讲了一些群环域这些代数结构的事情了，大家也许会问了，这些东西的用处是什么呢？

一个数学理论，数学家们对它感兴趣，花时间精力（还有金钱，是国家社会等投入进去的）来研究，无非两个原因，一个是有趣，一个是有用。

某个数学对象被创造出来以后，往往就象有了自己的生命力一样，虽说现实世界中并不存在，但是也还是好像就在某处客观存在一样。比方说自然数，谁也没看见过“一”“二”“三”等等，我们看见的总是具体的一个人两个苹果啥的，但是从古希腊那时候，数学家们就对自然数的一些性质感兴趣，比如素数是不是有无穷多个啦，有没有奇完美数啦，到后来又问哥德巴赫猜想是不是成立啦，费尔马大定理对不对啦。许多这类问题就算回答出来了，一时也看不出有什么特别的用处，但是我们还是想知道答案，纯粹是好奇心作崇。群环域这些数学对象一旦被定义出来，也有了自己的生命力。比方说我们发现有有限域这样的东西，就会想到去问“到底有哪些有限域”这样的问题。其他数学结构也一样，象有限单群（元素有限的，不能被分解的群，有点象素数之于整数那样的东西）的分类问题，数学家们花了大约一万页的论文，把这个问题解决了。当然更多的是没有解决的问题。这是有趣，理论本身提出了自己的问题，只因为人类想知道，不为别的，这些问题就值得花钱花时间花精力去研究。当然有趣的东西未必就一定没有用，这两个不是互斥的。“有趣”本身就颇可以是一种用处，满足好奇心的用处。

再来说说有用。所谓有用，就是理论不仅能够处理自己提出的问题，还能对解决其他领域里的问题有帮助。这个其他领域可以是物理，化学，生物，信息科学，经济甚至是语言学等等不是数学的学科，也可以是数学的其他分支。

群环域这些代数结构的应用是非常广泛的，在这里不可能全罗列一遍。这里我具体闲话一下两个方面，只是在其他数学分支中的应用，至于在其他学科中的应用，应该是那些学科中的同学的科普任务，呵呵。

第一个方面，这些数学结构本身就是对数学其他分支中已经存在的一些对象的抽象。

比如说我们观察到从整数集上的加法和乘法可以产生一些有趣的现象，比如有时候一些整数之间可以做除法，有时候不行，从而定义出素数这样的概念来，我们又发现每个整数都可以被唯一分解成一些素数的乘积等等，我们观察到比如实系数的一元多项式集合里也有类似的现象：这些多项式之间可以做加法乘法，有些多项式比如x^2+1不可以再分解成更小的实系数多项式，而有些多项式比如x^3+1可以分解成(x+1)(x^2-x+1)，这种分解也是唯一的。这就启发我们，整数和实系数的一元多项式以及它们上面的加法乘法形成的结构有某些共同点。那么我们就可以试图把这些共同点抽象出来，在这种抽象的理论里，我们证明的定理就既可以在整数集上成立，又可以在实系数的一元多项式集合上成立。

在环论发展的实际历史上，并不是象一些教科书上叙述环理论的次序那样，是有个数学家灵机一动，刷刷刷写出一般的环的定义，然后发展了一大套理论，然后发现这些理论居然很碰巧地在整数集或实系数的一元多项式集合或其他什么集合上成立。不是这样的，历史上这个次序是倒过来的，数学家们首先研究的是一些很特别的环，他们当年刚开始研究的时候甚至还没有“环”这个名词。比如在试图解决费尔马大定理的过程中，受到n=3和4时证法的启示，一些数学家（比如Lamé，Kummer和戴德金等人）考虑了一些特殊的数的集合，这些集合上可以做加法和乘法，和整数集合相似。如果这些集合的性质和整数集一样好，也有类似“整数都可被唯一分解成素数的乘积”这样的唯一分解定理，那么模仿n=3和4的证法，费尔马大定理就得证了。很不幸的是（也许谈不上不幸，要不以后那些围绕着解决费尔马大定理发展出来的有趣理论都要晚见天日了，呵呵），其中一些集合上唯一分解定理并不成立。于是判断在哪些集合上唯一分解定理成立就成了一个重要的任务。在这些研究下，诸如唯一分解整环，戴德金整环（所谓的“整环”，就是其中两个不是零元的元素乘起来不会是零元，我们已经在前面的Z10上见识过这有多重要了）的概念被提出来（当年它们还不叫这些名字）。

“环”这个名字是德国大数学家希尔伯特给取的，英语里叫ring，法语里叫anneau，也就是“环”啊“圈”啊的意思。托尔金的奇幻大作“指环王”，在英文里是Lord of the Rings，如果放数学系图书馆里，插在代数类书架上，咋一瞧也许会被认为是哪位环论大师的传记。从现在的观念看来，当年希尔伯特的那些“环”也是很特别的一类环。如今一般的环的概念，是那二十多年以后才基本固定下来的。

其他的那些数学结构也类似，它们的有用性体现在它们是许多具体的具有运算的数学对象的抽象。对于这些抽象的数学结构的研究，能够使我们把握那些具体的数学对象的共同性质；而对某些具体数学对象研究的方法也可以通过这种抽象，提升到对抽象的数学结构的研究上去，从而使这些方法同样适用于其它具体的数学对象（就好像唯一分解定理原本是对整数才有的概念，提升到唯一分解整环上以后，又发现其他一些具体的数学对象如多项式环也是唯一分解整环，于是整数集上的许多定理就可以搬到多项式环等上去了）。

第二个方面，群环域这些数学结构可以用来作为描述其他数学对象性质的语言。这个话有点玄妙，所以要展开说说。

我们常常见到使用数来描述某些东西性质的做法。比如说，某人身高1.65米体重165斤，某个班级有60个学生等，数学上例子比如说某多项式方程有3个根，等等。这样的描述未必就完整地全面地刻画了这些东西，但是它至少描述了这些东西某方面的特征，让我们知道这些东西的某些信息。通过这些信息，我们足以推断出一些结论，比如那位身高1.65米体重165斤的朋友大概有必要减减肥，那个60个学生的班级的老师大概做不到因材施教，而那个有3个根的多项式方程的次数应该大于等于3等等。

使用数来描述性质，可称“定量”，是理论精密的一种表现。王小波在他的《关于格调》中有高论曰：

在格调问题上我就不发表自己的意见了，尤其是现在反三俗，提高格调又是一件很有必要的事情了。但是这里有一件事情是明白的：作为一种理论，越是能够定量研究的，就越精密，越容易验证和应用，越是只能定性分析的，就越粗糙，越难验证和应用。比如光说“礼重色轻”，就从不了权；得把礼和色量化了，也就是用数字表示出来，才能从权。

拿数字来描述性质已经很精密了。而群环域这些东西，能比用数字定量还要精密地描述一些数学对象的性质。对于某些数学对象，我们能够象说“某人体重多少”这样说“某某的xx群是什么”，这样，xx群就成为描述某某这个数学对象的性质的一种方式，正如数字能够描述某人的体重一般。

接下去我们稍微具体地看看两个例子：伽罗华理论和庞加莱猜想，在这两个数学问题上，群论就起了刻画它们所研究的数学对象的工具。

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