主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

再添一节拓扑方面的东西：流形。

流形是一种特别的拓扑空间，它的每一个足够小的局部，看起来都象是一个欧几里德空间的一个局部。欧几里德空间就是我们平时熟悉的直线，平面或者三维空间，或者更高维的平直空间。欧几里德空间的性质是再好没有了。

如今除了地平协会的顽固分子们，大家都知道大地是个球，我们站着的这个地面，如果忽略其上面（从地球大小的尺度来说）不起眼的坑坑洼洼，是一个球面。拿张中国出版的世界地图来看，会把中国放在正中，非洲和南美处于最左和最右端，但其实它们只不过隔了一条狭长的太平洋，格陵兰岛则一大块处于右上角，一小半处于左上角，其实这两块是紧连的一个大岛。如果是欧洲出版的世界地图，那就又是另外的样子，格陵兰岛成一整块了，但轮到其实处于狭窄的白令海峡两侧的西伯利亚和阿拉斯加分处地图的左右上角。你不可能在一张平面的纸上很好地显示地球上所有地区之间的相邻关系，总有一些其实靠在一起的地方，在平面地图上被画成离得很远。要正确地展示地球上所有地区之间的相邻关系，同样是球面的地球仪是一个好得多的选择。

但是这不等于说无论什么地图都得在球面上画。为了画出某个城市的地图，画在平面的纸上足矣，它上面的各个区域之间的相邻关系都是实际的相邻关系。地球上任何一个面积相对较小的区域的地图，都可以画在一张平面的纸上，一张纸可以看作是一个平面的一个局部。

这样我们可以看出，虽然从整体上来看，球面和平面是大不一样的，但是从局部来看，球面的局部和平面的局部却差不多。轮胎面也一样，从整体来看，轮胎面和球面以及平面都很不一样，但是从局部来看，轮胎面的局部和平面的局部也差不多。所以球面和轮胎面都是流形的例子。轮胎面和球面的局部都和平面也就是2维欧氏空间的局部差不多，所以它们都是2维流形。平面本身当然也是2维流形。2维流形的一个通俗名字当然就是曲面。

1维流形（通俗名字拿手指头也想得出来，是曲线）的例子是圆周。圆周的每个局部看上去都象是直线的一部分，但是整体看起来却和直线是不一样的。直线也是1维流形。其实1维的（连通的）流形就只有这两种：圆周和直线。两个不相交的圆周算不算1维流形？也算，但是因为两个圆周不连在一起，可以由连通的流形简单地组合出来，我们对它们不是很感兴趣。

8字形，或者说一条自己和自己相交了的曲线是不是流形？不是。虽然8字形的大部分的局部都和直线差不多，但是如果我们看看那个交点和它周围的情况，我们会发现那个地方和一条直线的局部不一样，到是和两条直线相交的交点处的局部差不多。所以这就不是流形了，那个交点被称为一个奇点。

高于2维的流形当然也存在，局部和3维欧几里德空间差不多的是3维流形，局部和4维欧几里德空间差不多的是4维流形，……，这些流形就比较难以直观想象了，但是照样还是可以定义和研究。最简单的高维流形，一种就是高维的欧几里德空间本身，一种是高维球面。参考（2维的）球面在三维欧几里德空间中的定义方法，我们可以定义3维的球面：4维的（实）欧几里德空间中的每点由四个实数组成的坐标来表示：(w,x,y,z)，如果我们考虑这个四维空间中所有满足w^2+x^2+y^2+z^2=1的那些点，这些点就形成了3维球面。类似地可以定义更高维的球面。

象球面以及轮胎面这样的流形，和象平面这样的流形比起来有一个特点，它们不像平面那样一摊开来就无边无际的，它们看上去处在一个有限的范围里。球面以及轮胎面这样的流形，还有一个特点就是它们没有边界（平面也没有边界，但是半平面就有边界，莫比乌斯带也有边界）。这样的处在一个有限范围内，又没有边界的流形，是具有非常好性质的流形，数学家们叫它们是“紧的，无边的”流形。“紧”又叫“紧致”，是指某种意义上的有限。拓扑学里一说“紧”，总是和有限有关系，也有很多种似“紧”不“紧”的概念，比如预紧，仿紧或伪紧，列紧，可数紧等等，学起来有点让人头痛。不过就是一条，“紧”总意味着某种有限。“紧的，无边的”合起来，又叫“封闭的”。

对在有限范围内，又没有边界的这些行话叫“封闭的”流形，数学家们研究得比较多。前面在数学闲话（二）——拓扑(1)拓扑空间这节中就提到过，数学家们对于2维的这类流形的分类已经了如指掌了，就是用“亏格”来分。不过这里说得不是很严格，因为如果对照上一节我说的关于按亏格分类的叙述，那里还有另一个条件是“有向”的。这个条件也很有意思，所谓有向，就是作为曲面，有两个方向，比如球面有里面外面之分，轮胎面也有里面外面之分。在轮胎外面爬的蚂蚁，不把轮胎咬出个洞来，是爬不到里面去的。但是同样也有无向的曲面，最著名的就是莫比乌斯带了，只有一个面。我想现在在读这篇东西的朋友大概都知道什么是莫比乌斯带，所以就不详细说了。

但是莫比乌斯带是有边的，不过也许大家还知道克莱因瓶，这就是一个“封闭的”却“无向”的2维流形的例子。

不管是有向的还是无向的，2维封闭流形（曲面）的分类数学家都搞得很清楚。有向的用亏格，至于无向的就复杂点，但是也没问题。但是高维的封闭流形的分类，就困难得一塌糊涂（在某种意义下我们甚至可以说，这个问题是不可解决的）。关于高维的流形的分类，我会在讲代数结构的“庞加莱猜想中的群”一节中再多讲一些。

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