主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发

【第五章：解析函数的局域性展开】

在第四章完成相关的准备工作之后，这一章开始系统讲解析函数的一个等价定义：级数展开。这个等价定义的好处是便于我们研究解析函数的奇点和零点。

从哲学的观点看，这是“形式决定内容”的一个具体例子。在语言学里，则是你的词汇表圈定了你所能表达的思想。

在数学史上，这样的例子层出不穷：一个数学对象，在大家研究它很久之后，突然发现其实还有另外一种观点来看待它，从而引发了一系列新的进展。复分析的发展过程中，就曾经有过三种等价的看法：从分析的角度（可微性的定义），从级数展开的角度（这一章的局域性展开），从几何的角度（黎曼面）。

大家可以尝试一下，如果不用级数展开这种“语言”，是不是这一章的很多结果不但不好证明，就是直观上也不那么显然了（例如解析函数的零点孤立定理和唯一性定理）？

这章末尾的解析延拓我觉得讲得还不够透。还有就是省略了维尔斯特拉斯分解定理和米塔格-列夫勒定理。这两个定理的威力在于为函数的各种展开形式提供了一个统一的方法，从而把欧拉在 《无穷分析引论》（Introduction to Analysis of the Infinite）里让人眼花缭乱的变化用一个统一的观点统摄了起来，达到了化繁为简的目的。我以后关于复分析的习题解答会给出较多的相关例子。

习题没什么难度，我都做了，大家可以参考一下。

【第六章：二阶线性常微分方程的幂级数解法】

这章是幂级数的应用，背景是物理学中出现的各种常微分方程，也是引出各种特殊函数的源泉。习题比较繁琐，涉及不少计算，俺都做了。下面谈几点看法。

第一，这一章的计算量比较大。老实说，见过更漂亮的数学之后，这些习题都没啥意思。不过我认为这是理工科学习的一个必经训练。如果我这个时间不够、精力不济的中年大叔都能坚持下来，全职在校读书的大学生们没有理由坚持不下来。这其实是对意志品质的一个磨练。对于这一点，我特别推荐忙总的一篇帖子作为参考：我觉得做事情要想顺利，保持不贪，不急，不忿的心态最重要

第二，用幂级数方法解常微分方程，不可避免地涉及到解递归方程（recurrence equation）。这也是我们公司面试的一个经典题目，其背景是计算机算法复杂度的分析通常由递归方程表出。这本教材里的递归方程大多是齐次的，有很简单的解法。但是对于非齐次的就麻烦一点。其实如何解递归方程，很多中学奥赛题里面就有--一般是用一个特殊的技巧来解决。

但是从认识世界的角度看，越简洁的东西越容易记忆，尤其当我们面临的问题只是一类问题中的一个特例的时候。从这个角度出发，我个人偏好用生成函数的办法对齐次和非齐次的情形产生一个统一的解法。普林斯顿大学计算机系的一门离散数学课程有一个笔记对此作了系统总结，我把这个笔记也上载了，文件名是 solving_recurrence_relations.pdf。（模块化打补丁。。。）

第三，在对线性方程求解的时候，教材里面使用了一点线性空间的基的概念。这个概念在线性微分方程解空间的应用可以在丁同仁、李承治的《常微分方程教程》里找到。再次道歉：本来我应该先贴线性代数的习题解答，再贴常微分方程的习题解答，最后循序渐进地来讲数学物理方法的。不过我现在急着结束一些事情，所以只能打乱次序，把这本习题解答先贴上来了。以后我会把线性代数和常微分方程的习题解答补充上来的。

【第七章：留数定理及其应用】

这一章的内容大概是数学物理方法里面讲的复分析的高潮了。高潮在于我们真正看到了复分析解决问题的威力：以前对各种稀奇古怪的定积分的求解，在数学分析里需要依赖于含参变量的积分，对技巧的要求比较高。现在则是有了一个统一的、甚至有些机械的方法：留数定理。同时我们也看到了多值函数的定义的确是有必要的：一些计算因此有了意义。

几点说明。第一，第7题第(4)小题和第9题第（4）小题我没有做出来。大家尽管鄙视我吧，我一定保持情绪稳定。第二，这一章的计算题又臭又长，习题解答写了18页，所以有错误难免。凡是和书后的答案对不上的，我都加了注，大家自己查对吧。第三，我在习题解答里提到了几本复分析的参考书，除了方企勤的《复变函数教程》我没有电子版之外，其他三本都上传了，大家可以作为参考资料。

我想重点介绍一下 Whittaker 和 Watson 的 A Course of Modern Analysis。这一本书的价值在于，它写作于数学公理化运动（尤其是布尔巴基学派）彻底改变现代数学的表述形式之前，从而较好地展现了数学家、尤其是英国的分析学派是如何分析思考问题的（与此类似的是法国古尔沙（Goursat）的《分析教程》）。

我前面曾经抱怨过现代数学教材写得不好：文雅的说法是割裂了数学与其他学科的联系，使得数学至少在表面上看起来成了数学家凭空创造的产物；通俗的说法则是：“太装B了”。

这种看法不是我愤世嫉俗之语，不少成名的数学家都对现代数学一本正经、上来就是讲大套理论的做法不以为然。我曾经听过证明对数索伯列夫不等式的著名数学家Leonard Gross教授的讲座。他曾是《泛函分析杂志》的主编。他讲泛函分析很有特色，一上来就装傻，“俺不懂啥抽象理论，俺就一研究数学物理的。俺对薛定谔微分算子很有兴趣，今天我们就来看看能不能七拼八凑地把这个算子折腾明白”。

这和国内教材和教授讲课的情形形成鲜明的对比。我认为这除了个人风格以外，一个重要区别就是讲课人是否真地吃透了讲授内容，是否真地在活生生地使用这些内容，是否真地对自己的理解有足够的自信。

话题扯远了，有兴趣了解这本书的同学，可以读读 英文亚马逊网站上的书评。我自己在工作中曾经使用过这本书，里面很多结果很实用，可以用来做很细致的估计和分析。具体情况俺就不好多谈了。“臣失其密则失其身”，呵呵呵。

【第八章：伽玛函数】

没啥多说的，书上讲得够明白，习题也不错。对于伽玛函数的很多实用公式，大家可以去Whittaker 和 Watson的书上查。

【第九章：拉普拉斯变换】

这一章第5题的第（1）（2）小题、第6题的第（3）小题、第7题，以及第8题的第（4）小题我都略过了。原因已经记不清了。可以确定的是第6题第（3）小题好像是没做出来，第8题的第（4）小题仅仅批注了一个“用Phi函数简单得多”，大家自己补全吧。

诉一下苦。兄弟我都是熬夜做题。晚上下班后做到凌晨两三点，就是连续工作十几个小时了，铁打的大脑也神志不清了。如果有简单题目没做，大家也不要奇怪。实在是“强弩之末势不能穿鲁缟也”。

【第十章：德尔塔函数】

要理解定义德尔塔函数的动机，大家回顾一下我前面说过的那段话：“你新理论的核心想法是啥？给我一个具体的问题，现有方法不能解决或者解决起来很麻烦，而你的新理论可以解决或者解决起来多快好省。”然后看看由德尔塔函数引出的格林函数法是如何威力强大地解决问题的。

这章内容要去华尔街上面试的兄弟姐妹们一定要操练纯熟。多的话俺就含笑不语了。

【第十一章：Mathematica中的复变函数】

这一章没有习题，主要是介绍Mathematica这个软件的使用。其实我在前面的习题解答里已经使用它来验证我的计算结果了。这个软件的好处是能够做符号计算，也即可以帮我们推公式。它背后的支撑是各种各样的数学用表—以前我们需要手动查公式的地方，现在可以用Mathematica自动化操作了。

一方面，这让数学家们的重要性下降了，另一方面，又把数学家解放了出来去做更重要的工作。我从来不会觉得Mathematica 抢了我的饭碗：这世界上等待我们去创造性解决的问题实在太多了。通过垄断已有的知识，尤其是过时陈旧的知识，来人为地制造门槛，从而显得自己牛掰轰轰，这是卢瑟的做法，也是“砖家叫兽”们赖以为生的伎俩之一。俺对此表示严重的不屑和鄙视。

（待续）