主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发
准备把一些自己曾经做过的习题解答贴出来，和网友们共享。希望以此作为一个开源运动的尝试，帮助促进中国的大学生们学习好数学和自然科学。有感于国家现在需要更多的金融人才为中国的经济建设保驾护航，我把重点放在对现代定量金融分析有用的数理工具上。
输入数学公式，我使用的是英文 LaTeX 软件，相对应的编辑器是 WinEdt。LaTex也有中文输入，我使用全英文只是因为我敲英文的速度比中文快得多。
用于数值和符号计算的软件，我分别使用 Matlab 和 Mathematica。国内的盗版强人很多，相信大家能够找到免费的下载。
关于LaTeX的参考工具书，我推荐 George Gratzer 的《Math into LaTeX》，关于Matlab的参考书，我推荐 Desmond J. Higham 和 Nicholas J. Higham 的《Matlab Guide》。
在互联网上有一个叫 rapidshare 的网站，搜集有大量的盗版科技书籍，大家可以使用英文 Google 通过词汇组合找书。另外国内有个网上书店 www.china-pub.com，也有很多最新的科技书籍，价格比较合理。
我上传的资料一般是用压缩文档，包含LaTeX的原始文件、用LaTeX 产生的PDF文档、以及 eps 图形文件(如果习题解答需要画图的话)。
计划中需要有二十本左右的习题解答，基本覆盖大学数学本科的五个学习方向：纯粹数学、应用数学、计算数学、概率统计、金融数学。另外计量经济学也在考虑范围之内。这些习题解答依据的课本有中文的也有外文的，有正式出版的教科书，也有网上的免费讲义。我挑选这些教材的标准大致有如下几条：
1。与中国的实际接轨。比如，在中国大学里流行的教材如果不错的话，我就会选中国的教材，这样会使在校大学生觉得亲切熟悉一些。
2。尽量使用名家名作，尤其是活跃在科研第一线的科学工作者的著作，这样才能使大学生们尽快地一窥一流科学家思考问题、组织材料的方式。
3。尽量走理论与实践相结合的道路。教材应该把一个理论的来龙去脉讲清楚，并辅以真正的应用。我不妨引用著名概率学家邓金教授的一段话来阐述这个看法：
Evgenii B. Dynkin and Aleksandr A. Yushkevich, 《Markov Processes: Theorems and Problems》- Foreword
【意译】为了掌握新的数学概念，我们必须了解这些新概念的威力，并能对他们是如何使用的有个栩栩如生的体会。要达到这种境界，最好的办法不是一上来就讲普适性的定理，而是从具体的问题开始。这些具体问题必须是有代表性的现实问题，同时这些问题的本质也不会被一些偶然的技术困难所模糊--这些偶然的技术困难往往在需要建立一个严格系统的理论框架时出现。
叶甫盖尼 B. 邓金，亚历山大 A. 尤什科维奇，《马科夫过程：定理与问题》-前言
这个计划大概从两年前开始动手，其中由于各种原因多有拖延。从现在的进展来看，大概还需要三到五年。完成之后，这些习题解答和它们所对应的教材应该能够联通成一片，自成一个体系，并由一个大的思想方法统摄。这个思想方法是我从各处学来的，来源大致有三：
1、我通过读名家名著和近距离观察，从已经成名的数学家身上看来的；
2、我自己学习做科研的体会；
3、我通过读史，尤其是读西方文艺复兴以来的科技发展史和中国建国前三十年的奋斗史，得到的感触，其中尤以中国前三十年的奋斗史更觉切合中国当下的时弊。
我既然自不量力地要做这么一件事，应该是厚积薄发，等到三五年之后积累完毕再来发帖的。但近年来目睹自己求学时走过的弯路，仍然在被今天的大学生们重复着，实在于心不忍。“救得了一个算一个”，是我此时仓促发帖的初衷。就比如河里的小河流水兄曾转贴过一个叫《陌生来电》的文章（2007年06月04日 17:30 21世纪经济报道，《陌生来电》）。那些被外资银行用来压榨的中国大学生们，本来是可以做很多利国利民、对自己也好处多多的工作的，但现实中他们却被用来当枪使，欺骗中国人民的钱财。如果他们在校时能够学到真正有用的文化知识，毕业后学以致用，这样的悲剧是不会发生的。
我才疏学浅，本来如此雄心勃勃的工作轮不到我来做。但网络让我看到了些许希望，同时我也担心几年之后我准备完毕了，很多事情却也已经晚了。
做事情有两种做法，一种是了解大图景（big picture）之后，把琐碎的资料融会贯通，然后一气呵成，这恰似中国的泼墨画法。另一种是日积月累，每天拼凑一些琐碎资料，经年累月之后，始见大图景，这恰似拼图猜谜的游戏。前者需要时间或者才智，往往是有大才之人才能做好；后者则是才智平平的升斗小民也能做的，只不过他们一般只能做好很小的一部分罢了。
我觉得我想做的事情应该是采用前一种做法，从“如何做学问”这个大本源开始，把各种材料统摄组织成一个体系，然后用一个统一的观点讲述出来。所以我现在这样零敲碎补的做法从方法论上就是错了。但每个人对他的时代都必须交出一份答卷，我也如此。有些事看到了而不做，将来时局糜烂之后，面对两难的抉择我想我是终将心生悔恨的。
既然号称“开源运动”，我贴出的所有资料都是可以免费使用的，我甚至不介意有人将之用于商业用途，这也是我公开 LaTeX 原始文件的原因。同时我也深知自己的浅薄，资料里错误难免，某些个人见解在真正懂行的人看来恐怕要笑掉大牙了。大家取其精华，去其糟粕就是了，我深知同样的学问，一百个人有一百个人的做法。关键是要“学以致用、解决现实问题”。
因我采用了第二种“拼图”的做法，所以各门学问之间的联系我就不花太多笔墨叙述了。如果这个工程有完工的一天，到时再回头来做总结陈词吧。
所有资料都会上载到esnips的这个公开帐户上：http://www.esnips.com/web/SolOpenSrc。
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我把这个课程的讲义、家庭作业，和我所作的习题解答一并打包成一个文件：MIT_stats_course.rar。大家去下面这个网站下载就是了：http://www.esnips.com/web/SolOpenSrc。
解压缩后，course_material 这个文件夹包含的是我从 MIT 的课程网站上下载的讲义与家庭作业。习题解答的 LaTeX 原件是panchenko_public.tex，其他文档都是一些附带生成的文档。要看内容，只需点击 panchenko_public.pdf 就行了。
这门课程的前提条件是数学分析。我认为它可以作为大学本科生的一门统计入门课，其好处是理论部分较多，但讲的很清楚。同时习题比较结合实际，能让我们看到理论是如何用于解决实际问题的。另外Matlab的使用还初步让学生体会到了数值计算的重要性。所以遵循邓金教授的治学观点，我推荐这门课作为第一门基于数学分析的统计课程。
关于课程概要（syllabus）里提及的教材。我查了一下，人民邮电出版社有出版，但是好像网民们反映翻译质量不好。所以我把家庭作业里布置的书上习题都手打进习题解答里了。除了极个别的习题，整个讲义和习题解答自成一个体系，不需要单独买教材。当然，这本教材是极好的，我有英文版。
Is it possible replced by Octave(open source)?
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http://rapidshare.com/files/266274315/scientific_computing_with_matlab_and_octave.pdf
Scientific Computing with Matlab and Octave.
金融定量分析师的英文是 Financial Quantitative Analyst，简称quant。老中们根据quant的读音，将之戏称为“矿工”，有“一息尚存，淘金不止”的含义在内。
下面是一些业内人士，包括猎头公司，对这个工作的解释，并提出了该如何准备才能进入这个行业。对于在校大学生们来说，这些文章可以作为一个导引，给他们动力去学习各种各样的知识，包括数学、物理、统计、计算机编程，等等。很抱歉文章是全英文的，我没有时间精力逐一翻译成中文了。我把他们一并打包在whats_a_quant.rar 这个文档里了，下载地址仍然是http://www.esnips.com/web/SolOpenSrc。
下面逐一简介一下这些文章。
1. Finding a job in finance
这是高盛前定量分析主任，现任哥伦比亚大学教授的Emanuel Derman的一篇文章，讲述他认为如何才能在金融业里面找到一份工作。这篇文章可以看作是一个职业发展建议书，其中重点可用一句话概括：“Quantitative finance is in essence a multidisciplinary enterprise. To be effective, you must learn finance, mathematics and programming”（定量金融本质上是一个交叉学科。要能够有效地工作，你必须学习金融、数学，和编程。）
2. What Quants Don't Learn at College
仍然是 Emanuel Derman的文章，讲的是金融建模的哲学观方法论的问题。在具备了一定的数理基础之后，可以读一读长长见识。
3. On Becoming A Quant
这是一位业内人士，Mark Joshi，的一些看法。覆盖面比较广，主要从矿工的分类，职业发展方向，面试的准备等等各个方面加以叙述，信息量比较丰富，而且比较有操作性，我认为很值得一读。
4-6.余下三篇是一家较大的猎头公司 Michael Page的资料，进一步从各个方面阐述不同类型矿工的技能要求、面试准备和职业发展方向，可以从另外一个角度管中窥豹。
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如果有人问我，“我的孩子即将考大学，希望毕业后能够进入金融行业，你能推荐他/她学习什么专业呢？”我觉得从定量金融分析的角度看，我首推数学和物理。数学里包括纯粹、应用、计算、概率统计和金融五大方面，我认为都可以。只不过纯数学是练内功，其他四个方向是练外功。练武可以从内到外，也可以从外到内。我是纯数学出身，后来转向概率统计，算是由内到外的练法。物理里面，我比较推崇理论物理，因为这是所有自然学科里面最接近金融建模的。
华尔街上的一个潜规则是“招数学物理博士来培训他们金融，要比招金融博士来培训他们数学物理容易得多”。总体说来，本科阶段最好学数学物理这样的硬科学（hard science)，而要避免学管理、金融这样的软科学。举几个例子：
1.西西河里的科大胡不归是理科博士，但是他在业余时间学习经济学，进展就很快。具体参见：【原创】经济学读书心得。我认为这与他通过学习科学锻炼出来的规范思维方式密不可分，大家读他的帖子的时候，尤其注意他独立思考、追根溯源的思维习惯，和条分缕析、格物致知的思维能力，这其实就是科研工作者做原创性研究时的思维模式。
2.我有同学大学是化学本科，她后来修了一个经济学的双学位，出国后读博士成为计量经济学家，具体方向是 financial econometrics。有了良好的数理功底，再要转经济金融是相对容易的。
3.即使在美国，大家对本科读金融的看法仍然是“太软”，一般要读到硕士才认为你有一定的工作能力。
4.在华尔街上也存在“劳心者治人，劳力者治于人”。形象地讲，就是拽拽的白人MBA管一帮老外博士。放到中国，我估计就是一堆没什么本事的官僚衙内太子党关系户，管一帮有真才实学的人。这个是没有办法的事情，不是说不能改变这个现实，而是现在谈为时过早。我这个帖子本就是写给穷人家的孩子看的，太子党们不需要我去抬轿。
5.我强调数学物理这样的硬科学，是从定量分析师的职业选择来看的。其实还有一条路，我认为是当下中国更需要的，就是CFA，认证金融分析师。不过我自己不是CFA，所以就不多谈了。但是良好的数理基础对于 CFA 的考试认证也是大有好处的。
不久前，一位朋友的晚辈在听了我的意见之后，选择了浙大统计学专业作为本科的学习方向。衷心祝福她能学有所成。
MFE 的英文全称是 Master of Financial Engineering，金融工程硕士，是一个类似于职业培训的硕士课程。前一段时间美帝金融泡沫高涨的时候，这个专业很火，俺听说有学中文的姐妹跑去学这个专业的。
这个专业在外面名声较响的，在东海岸有卡耐基梅隆的Computational Finance Program，纽约大学的 Mathematics in Finance Program，普林斯顿的 ORFE，康奈尔 ORIE 的
Financial Engineering Program。在西海岸主要是斯坦福和伯克利的Financial Engineering Program，等等。俺没上过这些Program，所以大家伙别问我哪一家好，俺没有消费者体验。而且断人财路的事俺是不做的。有些话听到耳里，那是打死我也不说滴。
最早起了山寨 MFE 的念头，是因为兄弟我在Math Finance的学术圈子里作为菜鸟萝卜头混过几年，对一些基本的东西还是知道的。仔细琢磨了一下这些 MFE 的课程安排，大同小异，其实都不难，也就是靠近华尔街的几家有些独到之处。但是学费都高得吓人，一个朋友的弟弟读卡耐基梅隆的课程，贷款贷了十万美刀。当时俺就心生歹念：“妈妈的，凭什么和尚摸得，我就摸不得？啥时候让俺们中国人把你这个高科技也做成大白菜的价钱。”
瞄来瞄去，发现西瓜大学（西瓜者，Carnegie Mellon也）的教材最成体系，尤其是Steven Shreve教授的《Stochastic Calculus for Finance I, II》。于是俺就买来这两本教材，把习题做了一个七七八八，再加上胡思乱想的各种个人见解，凑了一本习题解答出来。
本着愿者上钩的原则，俺把这棵大毒草挂到了网上，让网民们自己尝试。目前根据中国同胞和外国友人们的反馈，他们都情绪稳定，生活正常，两年来没有发现毒副作用，所以我觉得是时候把这棵大毒草移植到西西河里来了。
更妙的是，俺在网上还发现了Steven Shreve教授对第一卷的部分习题所做的习题解答。现把他老人家的解答和俺小萝卜头的解答一并上传，以供各位山寨达人们批阅。有话在先：俺不要版权，随便大家转抄。但如果有错，大家伙考试被扣分俺也不负责任。
Shreve教授的这本教材只是卡耐基梅隆大学培训的一部分，其他的还包括计算机编程、数值分析等等，所以把他们的这本教材吃透并不能完全山寨他们的课程。但在技术上，完全山寨并没有困难，俺主要是时间精力不够，不是智力上有问题。希望有人能再接再厉，把剩下的东东也破译山寨了，然后在国内也搞一堆山寨MFE出来，为自己谋财，为学校创收，为国家培养人才。这可是和“产业升级”、“教育兴国”，“振兴金融”、“无烟产业”之类的主流语言搭上关系了。。。就是不知道俞敏洪当年山寨 GRE 是不是也是这样见财起意，走上了一条毁人不倦的不归路。
如果有人碰巧看到过这本习题解答的早期版本，上面有俺大名的，还请保守秘密。如果俺真人被人肉出来了，那就不好玩了。俺只好收拾铺盖离开西西河走人了。
文件名：stochastic_calculus_for_finance.rar。下载地址：http://www.esnips.com/web/SolOpenSrc。shreve_public.pdf 是俺的版本，shreve_solution_I_by_shreve.pdf 是 Shreve 教授的版本。
逐篇送花
习。
数学分析是大学数学专业的入门课程，和微积分的区别在于更偏重理论，也就是充满了传说中的 epsilon-delta 语言。学好数学分析，不光对数学、物理、工程类的专业课学习有所帮助，对于从事定量金融分析也大有裨益。稍微偏颇一点地说，金融定量分析就是数学分析和概率论在金融中的应用。
只学会微积分就好象只学会了一门手艺，常常会知其然而不知其所以然。只有学好了数学分析，才能把手艺上升到理论高度，成为一门科学。
靓仔，想发财吗？想泡美女吗？请学好数学分析！
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广告打完了，转入正题。按时间顺序说说我曾读过的数学分析教材。
我读的第一套数学分析教材是汴京大学数学系自编教材，第一卷由方企勤编写，第二卷由沈燮昌编写，第三卷由廖可人、李正元编写。这套教材的优点是叙述严谨，覆盖面广，风格上沿袭老毛子的俄式风范，对学生的训练比较充分。缺点是写得太严谨，有的时候显得直观不足，尤其是第三卷讲述高维空间的积分时，没有及时引入微分流形的语言，使积分的处理显得琐碎繁杂。但总体说来，这是一本值得精读的教材，能够帮助我们打下坚实的基础。
与这套教材配套的习题集，在我念大学时是系里自编的一套习题集，很好很强大，可惜毕业时没有保留下来。我自己另外把六卷本《吉米多维奇数学分析习题集》从头到尾做了一遍（该习题集有完整的解答），感觉受益匪浅。对我帮助很大的另外一本书是《分析中的反例》，可以帮助读者建立很好的分析直观，是数学分析教学中的经典参考书之一。
现在回头看，感觉《吉米多维奇数学分析习题集》有不少题目重复，逐一看下来有些浪费时间。我大学时代利用课余时间研读，前后花了近两年的时间，费时有些太长了，不过好处是我的分析底子也由此打下基础。
有人以为数学分析太难，只有数学专业的人才能学懂，其实不然，关键是教材和讲法。我曾经给一个只有微积分基础的工程系美国学生讲基于数学分析的偏微分方程，就是满篇都是 epsilon-delta 做估计的那种理论偏微分方程。小妹妹发现都能听懂，激动之余还给俺送了一个带学校图徽的大茶缸子--在美国，这种有知识产权的东东都巨贵，俺当时还是颇为得意了一下滴。
这个例子是一个很好的说明，说明只要方法得当，讲述清楚，数学分析是人人都能学得门儿清的。当然，俺也比较会忽悠，RateMyProfessor.com 上学生们给我的微积分课打分是4.2分（满分5分）。
前面所述这套教材成书于1986年。由于数学分析这门课程已经比较成熟，科研上并没有太多的新突破，所以年代久远并不是问题。前几天问才博士毕业的师弟师妹们，他们在本科也还是用的这套教材。
我读的第二套数学分析教材是张筑生先生所著三卷本《数学分析新讲》。后来汴大出过一本《数学分析解题指南》（林源渠、方企勤编），曾提到该解题指南特别适合于作为《数学分析新讲》的配套辅导教材。我没有细读过这本解题指南，不过想来不差。
我在这里想要重点推荐的，就是张筑生先生的这套《数学分析新讲》。具体原因我一时没有时间精力说清--我在序言里曾说过不能在此费太多笔墨，不过等以后我给大家讲其他东西，比如数值分析的时候，这本书的好处就显现出来了。一言以蔽之，“关系万千重”。
我可以向大家保证的是，《数学分析新讲》和上一套教材覆盖的内容都差不多，你们不会少学了什么。但是《新讲》更直观，以一例证之。一位朋友是隔壁皇宋大学的高材生。大学时参加理科试验班，具体的名目已经忘了，大概就是加强包括数学在内的基础科学训练。他们所用的数学分析教材就是《新讲》。当时他的一位同学学完之后意犹未尽，想看看汴京大学的科班出身都用什么教材，遂找来86版的老教材。看完之后身心俱残，彻底对数学分析失去兴趣，而这两套书讲的内容基本上都是一样的！
我读的第三本数学分析教材是Spivak的《流形上的微积分》，国内翻译的版本里有双语版的。我学习这本书的动机是觉得张筑生先生的《新讲》虽好，唯有对高维空间的积分，尤其是复杂曲面上的积分处理得还不够简洁，很好奇应该如何用微分流形和微分形式的语言来叙述清楚。
Spivak 这本书我读了之后，觉得还是没有把流形上的微积分讲清楚。书的前半部分其实很好，就是后来开始讲链上的积分时，颇有些东西含混不清。这个时候我已经读书读出经验了，凭直觉感到不是我的理解力有问题，而是书确实有没讲清楚的地方。当然，Spivak 是一个聪明人，他书里的很多习题出得很有意思，值得一做，所以我还是把他书上的习题做了大部分。
我的数学分析学习之路在多年以后终于有了一个完美的结局。出国以后我找到了麻省理工学院的 James Munkres 教授所著《Analysis on Manifolds》这本书。仔细研读一遍之后，又把书后半部分（第五章至第八章）的习题都做了一个七七八八，才确实感到已经把数学分析的方方面面都学清楚了，并与现代流形上的分析理论有了一个很好的衔接。
回过头来，如果有才入校的大学生问我用什么教材学习数学分析的话，我会推荐张筑生先生的《数学分析新讲》以及林源渠、方企勤的配套解题指南，然后建议这位同学接着读 Munkres 的《Analysis on Manifolds》（习题全做）。如果他还有精力，再去读《吉米多维奇》也不迟。
我想解释一下这种读法的思路。中国现在科学教育的一个弊端，是把科学放到了一个“术”的层次上来讲解，也就是作为一种聪明人才能玩的“奇技淫巧”，把科学看作一个个 trick 的集合，似乎那些科学问题的解决方案，都是聪明人凭空想出来的。这种“得其形而不得其神”的做法，具体就体现在大学高等数学的教学，例如数学物理方法的教学，满足于各种解题方法和技巧的罗列，而忽视用一些基本的数学思想加以简化统一的重要性。又比如中国现在流行的奥赛培训，就是集中向学生灌输一些技巧，学生只需要把这些技巧学会、用熟，就能在奥赛里取得高分。
依此道理，《吉米多维奇》固然能帮助学生巩固知识，但是过于重视它的作用，就是只学到了老毛子做学问的皮毛。关键是要在基础已经巩固的情况下，及时地学习更为高级的理论，用更高级的理论来简化我们对技巧的理解。举一个例子作为说明。
在数学、物理和工程里，常有最优化问题需要解决。一个通常的工具是拉格朗日乘子法。问个问题，这个东东大家经常用，有谁能一口说出它的直观，并在脑子里画一个形象的图出来？大家知道我这句话是啥意思：光滑的限制条件给出一个光滑的流形；目标函数在此流形的某点上取得极值的必要条件是目标函数的梯度向量垂直于此流形在该点的切空间。
大家可以按照我下面给出的顺序读一下拉格朗日乘子法证明的四个版本：
1.86版老教材的证明，第三册第163页。我初读时逻辑上都能理解，就是不明白证明的整体思路是什么。
2.《数学分析新讲》第二册第275页。这个证明已经很直观了，但是你还是会觉得证明很“聪明”，你无法一下子想到。读完后让你复述的话，你也不一定能一下子重复出来。
3. 我上传的资料里有一个文档，Dartmouth_lagrange_multiplier.pdf，是美国达特茅斯大学微积分课上的一个讲义。有趣的是，讲课的老师在讲义上抱怨，教材没有把问题讲清楚，所以老夫我只好自己写个证明给学生们看了。我前面所说“光滑流形”的几何直观即来自于这个版本的证明。至此，证明的几何直观已经很清楚了，需要复述时，只要将脑海中的图像转化成严格的形式语言就行了。
4. 在 Spivak所著《流行上的微积分》一书中，第122页习题5-16给出了一个更好的证明。“更好”就更好在揭示出了一种一般的思想方法：限制条件通过隐含数定理给出了一个流形，而流形局部上看都是欧氏空间，所以我们可以把限制条件看作投射，从而把问题平凡化（具体细节见我的习题解答）。
这种“流形局部是平直空间”的思想不但简化了我们看问题的方法，而且有助于把特定的技巧推广到其他问题。例如以后我会讲这个思想方法是如何用到非线性最优化问题当中的。一言以蔽之，“关系万千重”，关键是“以道统摄术”，而非迷恋于“不列方程求解鸡兔同笼问题”的低级奇技淫巧。
自我吹嘘一下，我不曾受过任何竞赛培训。但学习数学多年以后，当我拿起最有名的奥赛金牌，数学家陶哲轩的《Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective》一书时，我毫不意外地发现大多数题目对我而言只是小菜一碟。这就是贯通大本源的好处：“君子务本，本立而道生”。这个“本”，就是唯物主义的“本”，通过理解理论的来龙去脉，通过考察原始发明者的思考，来学习这个理论最精髓的思想。
我建议理工科的大学生们好好读一读波利亚的《如何解题》和克莱因的《古今数学思想》、《高观点下的初等数学》这几本书。我上面所述的思想方法不是我的发明，而是前人早已在这几本书中阐述总结清楚了的。我还建议所有理工科的同学们都去读一读傅立叶的原著，《热的解析理论》（有中译本）。这是任何一个懂微积分的人都能读懂的，而我大学时读了之后大吃一惊：原来傅立叶积分和级数理论是这么连蒙带猜地搞出来的！
如果要用一句话总结前面邓金教授的教学心得，那就是“任何理论都必须从问题中来，到问题中去”。实际上，这也是老毛子们讲数学的基本范式：从一个重要的实际问题讲起，把这个问题彻底解决；然后揭示问题的本质，将解决方案上升为一个理论-- In the beginning, it's a trick; then the trick becomes a methodology; eventually, the methodology evolves into a theory。
钱学森说毛泽东思想唯物主义能够帮助科学研究，一般人以为是拍马屁，我却知道钱老诚不我欺。现代数学“把脚手架都拆掉”的讲法实在是害死人，凡是空对空绕圈子的讲法，我一概以“闷骚”鄙视之。
结束之前，小笔记两则。
1. 我在学校教书时曾用过美国的一本流行微积分教材，觉得甚好，现将 pdf 版本上传到前述 esnips 的帐号上了。
2. Munkres教授在他《Analysis on Manifolds》一书的前言中提到，麻省理工在数学分析的后续课程安排中，提供了两条路线，一条是接着讲流形上的微积分，一条是讲实分析的勒贝格测度理论。我以为我们的本科教育两条路线都要讲，而且流形上的微积分越早讲越好，因为物理工程类的基础教育也需要。
文件math_analysis.rar有七个文件。spivak_public.pdf 是 Spivak《流形上的微积分》的习题解答, munkres_public.pdf 是 Munkres的 《Analysis on Manifolds》的习题解答。 Dartmouth_lagrange_multiplier.pdf 是我前面说的达特茅斯大学的讲义，只有四页，专讲拉格朗日乘子法。还有 calculus_early_transcendential.pdf 是我在美国大学教书时使用的微积分教材，觉得还不错，就顺手放到网上了。另外有三个 djvu 文件分别是上述 Spivak 和 Munkres 分析教材的电子版本（特此鸣谢njpower网友），以及 Spivak 一套微分几何教材的第一卷。大家可以看看数学分析是如何与微分流形接上轨的。
此轮爆发完毕，下次发帖当在半年以后，各位围观的群众可以洗洗睡了。还有不明白汴京大学、皇宋大学的筒子们，放狗搜一下即可--那是我身边发生过的故事，不过我不是主角，只是跑龙套路过的行人甲。
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"第三卷讲述高维空间的积分时，没有及时引入微分流形的语言，使积分的处理显得琐碎繁杂"，我说当年我怎么就是数分3没学好，原来是这样。:)
这学期我在当工程数学的ta，老外对vector calculus是一头雾水。我也发现跟他们不好解释。看来我要看看Analysis on Manifolds了。多谢先。
老师太狠了，留得作业别说半年，十年也未必做的完
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