主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （12）时空是洛仑兹流形

提示：如果你读的是（10）而不是（9）。下面自动降一维就行了。 注意：三正一负 要换为 二正一负。

12.0 （8）和（9）各讲了一个时空模型。（8）建议 用4维流形。 （9) 用了闵可夫斯基时空。

12.1 “三正一负”类型的度量结构

闵可夫斯基时空 是在 4维欧式空间上 用“三正一负”式的 “勾股定理” 定义的。4维欧式空间上 还可以定义 其他度量结构。 一个基本的想法是 使用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。

此话怎讲？ 闵可夫斯基时空 使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 在把 四个坐标的平方 作加减时， 每一个单独的平方 前面的系数是 1。 这里的要点是 不管你在时空中任何一处用这个“勾股定理” 这些系数都不改变。即 坐标的平方前面的系数 是常数 （不依赖于时空位置）。 在此意义上讲 我说 闵可夫斯基时空使用的 “三正一负”式的“勾股定理” 是“常系数的”。

现在 我们放宽要求 我们允许 坐标的平方前面的系数 不是常数（依赖于时空位置）。 这时的 “勾股定理” 就叫变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”。用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义的度量结构（距离）叫做 “三正一负”类型的度量结构。

当然你可能问 变系数时 取那个系数。 这其实是标准的微积分课程里的积分的问题。我们想要算一条线的长度。 我们把线切成很多小段，每一小段上系数变化很小， 我们任取一个系数 然后在这一小段上 用“勾股定理”。因为小段上系数变化很小 这是一个好的近似。 把所有小段上所算的距离加起来，这就是一个近似的长度。 现在我们让每一小段的长度 越来越小趋向于0，则近似长度的偏差 越来越小趋向于0。

上面一段话不懂没关系，只要能接受 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义度量结构 就可以了。

但还有一个问题， 我们上面算的 实际上是连接某两点的某条线的长度。 它当然依赖于 这条线的选取。固定两个点有没有一条特殊的线连接它们呢？答案是肯定的。这叫测地线。 对闵可夫斯基时空 或 有标准度量的欧式空间 测地线都是通常所说的直线。 在闵可夫斯基时空 两点间直线（测地线）的长度（按上面的算法）就是 闵可夫斯基时空距离。

测地线的定义我就不写了（以后会解释物理意义），我只指出 测地线是由度量结构决定的。它可以理解为 在一个度量结构下的 标准的定义（测量）两点间距离的方法。 如果度量流形是以前讲的几何球面（有经纬线圈）， 那么经线都是测地线。 这也是测地线 名称的由来。

12.2 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形

最快捷的方法，是把这看成是平直的时空的定义。 如果要负责一点， 平直的原因在于我们用了“常系数的”“三正一负”式的 “勾股定理” 定义闵可夫斯基时空。

你可能问 为何 闵可夫斯基时空 和有标准度量的4维欧式空间 都是平直的（感觉他们俩不一样啊）。 回答是， 我们不比较 “三正一负”类型的度量结构 和 “四个正号”类型的度量结构。 我们只比较同一类型的。 闵可夫斯基时空是平直的“三正一负”类型的度量流形， 有标准度量的4维欧式空间 是平直的“四个正号”类型的度量流形。

12.3 把流形和闵可夫斯基时空 结合

我们把（8）和（9）的想法结合起来。 我想接受狭义相对论， 又不想排除 时空整体上有蹊跷 的可能。 于是一个自然的模型是 时空是一个度量流形，在局部上这个度量结构是闵可夫斯基时空。

12.4 也许时空有内在的弯曲

在12.3中给的模型已经是一个很精确的模型了。12.2告诉我们 这个模型是平直的。 可是我一旦知道了 度量流形可以内在的弯曲， 我便禁不住怀疑 也许时空是 有内在的弯曲的度量流形。哪怕在实验上我暂时证明不了（当然目前的实验已经可以证明有内在弯曲了），我也不愿排除这种可能。 于是一个更稳妥的模型是 时空是 （可以有内在弯曲的） 一个 “三正一负”类型的度量流形。我们把 “三正一负”类型的度量流形 叫做 洛仑兹流形。

12.5 广义相对论认为 时空是洛仑兹流形。 这是广义相对论的一个基本观点。有时候为了强调时空是洛仑兹流形， 我称时空为 时空洛仑兹流形。

待续

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