主题：《量子》重启贴 -- 奔波儿

当对黑体内壁进行加热的时候，内壁会向黑体内腔释放出包括红外线、可见光和紫外线在内的各种辐射。为了在理论上推导出黑体辐射公式，普朗克必须要建立一个相应的物理模型，并还原出一模一样的黑体能谱分布。一直以来，他心中一直萦绕着一个想法。理论模型是否与观测值完全一致并不是最重要的；普朗克孜孜以求的只是该如何让自己的理论能够正确解释所有频率或者波长的黑体辐射。黑体辐射的能谱分布仅与温度相关，而与黑体本身是用什么材料制成的没有关联，这一现象是普朗克用来推导构建理论模型的基础。

“尽管原子理论已经取得了很大的成功，”普朗克在1882年写道“但基于物质是连续的这一基本假设，原子理论终将被人们抛弃。”十八年之后，若干无可争议的证据已经证实了原子的存在，普朗克却依旧对此持反对态度。普朗克知道根据电磁理论，按照一定频率震荡的电荷仅在该频率才能释放或者吸收辐射能量。因此，他将黑体内壁假定为一个由无数振子组成的点阵。尽管每个振子都有自己的独有的频率，但总体上呢？该黑体所释放的辐射覆盖了所有频率范围。

摆锤就是一个振子，摆锤前后摇晃再回到其初始点为一次震荡过程，而一秒中摆锤震荡的次数就是其频率。另一种振子是一个悬垂于一根弹簧的重物，如果用力将重物从其静止点往下拉动再松开手，则重物会上下弹抖，每秒钟其上下弹抖的次数为其频率。在普朗克开展研究的时候，人们对这一类振子的物理原理已经理解得非常透彻，并将其命名为“简谐运动（Simple Harmonic Motion）”，普朗克在自己的理论模型中也用到了这一概念。

普朗克假定这个由无数振子组成的黑体，是一组具有不同刚度但质量为零的弹簧，每个弹簧都具有不同的频率，且都带有一个电荷。通过加热黑体的内壁，使这些振子有足够的能量进行运动。每个振子是否运动仅仅取决于温度。如果某个振子运动，则其在黑体内腔中会释放或者吸收辐射。假如，温度保持恒定，则振子与黑体内腔之间的辐射释放和吸收将达到平衡，也就是说处于热平衡（Thermal Equilibrium）状态。

因为黑体辐射的能谱分布反映了所有能量在各个频率上的分布状态，普朗克假定这是因为在每一给定频率上的振子的数目决定了能量的分配。在设定了假想模型以后，普朗克必须要设计一种方案来将能量分配到每个振子上面。在公布了自己的黑体辐射公式后的几周中，普朗克为了构建出解释这一公式的物理理论，殆精竭智，苦苦探索。他发现如果依靠那些他一直奉为圭臬的已有的物理理论，这是个无法完成的任务。在绝望中，他不得不借鉴奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann：1844～1906）的理论，此人是原子理论的奠基人之一。就这样，在探究黑体辐射公式的工作中，普朗克接受了原子并非是一个虚构出来的东西这一事实，尽管多年以来他一直在公开场合“强烈反对原子理论”，但现在他成为了这一理论的皈依者。

路德维希·玻尔兹曼是收税官的儿子，身材粗短，留着一部带有浓重的十九世纪风格的大胡子。1844年2月20日，玻尔兹曼出生在奥地利首都维也纳。他曾经跟作曲家安东·布鲁克纳（Anton Bruckner：1824～1896）学过一段时间的钢琴，但显然，他更适合成为一位物理学家而不是一位钢琴家。1866年，玻尔兹曼在维也纳大学获得了博士学位。没过多久，他就因为在气体运动学理论上作出的贡献而声名鹊起，该理论的命名是因为其支持者认为气体是由处于连续运动状态中的原子或者分子组成的。后来，在1884年，玻尔兹曼对其以前的导师约瑟夫·斯特凡（Joseph Stefan：1835～1893）的发现做出了理论论证，即认为黑体辐射的总能量与温度（注：本文中的温度如无特别说明，则为卡氏温度，即绝对温度）的四次方，即T4或者TxTxTxT，呈正比。这也就意味着如果黑体的温度升高一倍，则其辐射的能量将增加16倍。

玻尔兹曼是一位著名的教授，同时也是一位出色的理论物理学家和能干的实验物理学家，但他却是一个目光非常短浅的人。当时，只要欧洲任何一个顶尖大学出现了职位空缺，玻尔兹曼的名字通常就会出现在候选者的名单中。就是因为他拒绝了柏林大学因为基尔霍夫去世而留下的教授空缺，作为次级候选人的普朗克才有机会获得这一职位。1900年，频繁跳槽的玻尔兹曼在莱比锡大学任教，这时的他已经是世界公认的最伟大的理论物理学家之一。但是，也有许多像普朗克这样的物理学家并不认同玻尔兹曼在热力学研究中所使用的方法。

玻尔兹曼认为气体的特性，比如压力，是由微观现象在动力学和概率论的定律支配下所表征出来的宏观特性。原子理论的支持者认为每个气体分子的运动都是由经典牛顿力学支配的，但在实际上，想用牛顿运动定律来计算单个气体分子的运动状态那是根本做不到的。1860年，年仅28岁的苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell：1831～1879）在并未测定单个分子速度的情况下探索出气体的运动规律。气体分子相互之间以及分子与容器壁之间不断发生碰撞，基于这一认识，麦克斯韦利用概率统计理论描绘出气体分子的速度分布规律。将概率统计方法引入到物理学领域在当时是非常大胆和富有创新力的；通过这一方法，麦克斯韦能够成功解释人们所观测到的许多气体活动特性。玻尔兹曼比麦克斯韦年轻十三岁，他紧跟这位前辈的后尘，帮助发展和建立了气体运动学理论。十九世纪七十年代，他又将这一理论向前推进了一步，他所做的是将熵与无序性联系起来，从而对热力学第二定律进行了统计学解释。

根据玻尔兹曼定理，熵可以用来度量某一系统处于某一特定状态的概率。例如，如果把一幅扑克牌洗得足够开，它就成为一个熵值很高的无序系统。但是，如果我们拿出一副新牌，则扑克牌是严格按照从A到王排序的，这副新牌就是一个高度规律性的低熵值系统。玻尔兹曼认为热力学第二定律反映了一个低概率低熵值的系统是如何向高概率高熵值状态演化的。但第二定律并非是绝对成立的，也有可能一个系统会从无序状态变成比较有序，例如把一副错乱无序的牌，再洗上第二次，就有可能会变成一副规则排序的牌。但这只是基于纸面上的，发生这种变化的几率非常之低，如果真要实现的话，估计所花费的时间将是宇宙年龄的若干倍。

普朗克认为热力学第二定律是绝对成立的——熵只会增加。而根据玻尔兹曼的统计解释，熵值并不总是增加的，也就是说，他认为熵在一定条件是可以减少的。很显然，两个人关于熵的认识存在差别。对普朗克而言，投向玻尔兹曼这一边意味着自己必须要作出放弃，而所要放弃的东西却是他作为一名物理学家一直以来都极为珍视的。但是为了能推导出黑体辐射公式，他别无选择。“在那之前，我从来没有考虑过熵和概率论之间存在什么关系，对这种想法我也毫无兴趣，因为任何概率预测都允许特例的存在；当时，我认为热力学第二定律是有效的，而且没有任何例外情况。”

最大熵以及最无序状态是一个系统最有可能出现的状态。对于黑体而言，这种状态即为热平衡状态，该状态也就是普朗克一直以来所研究的那些“振子”的频率最有可能的分布状态。如果总计有1000个振子，其中10个的频率为v，那么也就是这10个振子决定了该频率（v）的辐射强度。如果普朗克的电荷振子中的某一个的频率为一固定值时，则其释放或吸收的能量将仅仅取决于它的振幅，也就是其震荡的幅度。如果一个摆锤在5秒钟内完成5次摆动，则其频率为每秒一次摆动。然而，一个摆动幅度较大的摆锤要比摆幅小的摆锤具有更多的能量。摆锤的频率是由摆锤的长度决定的，由于摆锤的长度是一定的，则其摆动频率也是固定的，能量越高的摆锤摆动地更快一些，也能摆动更大的幅度。但是，由于它们的频率是相同的，则在相同的时间内，摆幅较大的摆锤摆动的次数与摆幅较小的摆锤是一样的。

外链图片需谨慎，可能会被源头改

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利用玻尔兹曼的理论，普朗克发现自己能够推导出黑体辐射的公式，前提条件是这些振子所释放或吸收的能量与频率呈正比的。每个频率上的能量是由若干大小相等但不可见的“单位能量”（即量子）组成的，这一点是“整个计算过程中最为关键的地方”，普朗克后来回忆说。

根据自己这个公式，普朗克被迫将能量E切分成若干能量为hv的单位能量块儿，其中，v为振子的频率，而h为一个常数。E=hv后来成为科学史上最著名的方程之一。例如，如果频率v为20，而h为2，则每个量子的能量为20x2=40。如果在这个频率上有10个振子，其总体能量为3600，则3600/40=90，说明有90份量子的能量被分配在这10个振子身上。普朗克从玻尔兹曼那儿学习到如何计算这些振子中量子的最有可能的分布状态。

他还发现，这些振子所拥有的能量只能是0，hv，2hv，3hv，4hv，……，nhv，其中n为整数。也就是说无论是吸收还是释放的能量，其基本“单位能量”或者“量子”为hv。这就好比每次人们去取款机存取现金的时候，钞票的面值只能是1英镑，2英镑，5英镑，10英镑，20英镑和50英镑，因此从取款机中得到的钞票面值只能是这些单位面值的整数倍。因为普朗克的振子不拥有其它能量，则其震荡的幅度是限定的。这个理论看上去有些古怪，但我们可以考虑用日常生活中所接触到的拴有重物的弹簧进行类比。

如果该重物震荡的幅度为1cm，则设定其能量为1（此处，我们忽略能量测量单位）。如果该重物被拉坠到2cm，放开它以后，它就开始震荡，且其震荡频率保持不变；另外，其能量与振幅的平方呈正比，也就是说其能量现在为4。如果把普朗克对于单位能量的限制拿来约束该重物的震荡过程，则在1cm和2cm中间，允许存在的幅度只能是1.42cm和1.73cm，因为它们的能量分别为2和3。假如其振幅为1.5cm，则相应的能量为2.25，但这种情况是不允许出现的。虽然人们无法直接观测到一份量子能量的大小，但是量子能量是不可分的；也就是说，一个振子所能接受的或者是完整的一份单位能量，或者为零。这种理论显然与我们平时所接触到的物理常识背道而驰。因为，在日常生活中，震荡的幅度是没有限制的，因此一个振子所能释放或者吸收的能量是没有限制的，这份能量可以是任意一个数值。

普朗克现在处于“山重水复疑无路”的境地，但他发现了一些东西，这些东西是如此不可思议和出人意外，以至于他忽略了它们的真正意义。他的这些振子不能像水龙头里面的水一样，绵绵不断地吸收或者释放能量。与此相反，它们所获得或者失去的能量是不连续的，只能是单份出现的微乎其微分无可分的能量，即E=hv，其中v为振子的振动频率，在此频率上，振子可以吸收或者释放能量。

为什么人们无法观测到这些原子尺度的振子呢？因为h的值为0.000000000000000000000000006626尔格·秒（erg seconds），即6.626除以10的27次方。根据普朗克的公式，能量增减的变化率不能小于h。h值是如此之微小，当用它来计算摆锤或者是那些振子的振动时，它所带来的量子效应在人们眼中的这个寻常世界是无法观测的。

普朗克的振子迫使他自己不得不把辐射能量斩成段，再切成丁，最后变成大小为hv的能量块。但在内心深处，普朗克并不认同能量是可以被切分成量子的。按照玻尔兹曼的切分方法，能量可以无限切分下去，直至在数学意义上无限接近于零（即无能量状态），但是整体能量却保持不变，这种方法让普朗克难以苟同。把这些能量块重新组合起来，则需要用到以微积分为主的数学方法。但普朗克的运气不是很好，如果他用上微积分的话，则他的公式就会化于无形。他似乎是卡在量子这个坎儿上了，但他并不在乎，因为他已经有了公式，剩下来要做的事情不过是把公式解释清楚，而这只是一个时间早晚的问题。

在柏林大学物理学院的教室里，普朗克向德国物理协会的会员们问候道：“先生们！”。在台下的听众中，他能够看见鲁本斯、努玛和普林斯海姆。他的报告题目是“Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum（关于普通频谱的能量分布定理之理论依据）”。这一天是1900年12月14日下午5点刚过。“几周以前，我有幸向诸位介绍了一个新公式，这个公式能够在准确解释一般频谱范围内的能量分布规律。”接下来，普朗克阐述了他在推导这一公式过程中所发现的其背后隐藏的物理涵义。

在会议即将结束的时候，他的同行们对他报以热烈的祝贺。在介绍量子的概念时，正如他自己所说，这个能量块“只是一个纯粹的假设”，而且他自己“并不真的赞同这个想法”，那一天其他人也抱有相似的观点。但是，对大家最重要的一点是，普朗克对他在十月份所提出的公式给出了一个有物理意义的解释。的确，他那种把能量切分成量子的想法有些稀奇古怪，但这个理论会在未来得到逐步完善。所有的人都认为普朗克的理论不过是理论物理学家经常玩的一个魔术，即在找寻正确答案的过程中用一些数学技巧，但它并不代表什么真正的物理涵义。在这之后，让他的同行感到振奋的是普朗克的辐射公式与观测结果精确吻合；但同时，没人真正注意到能量子（Quantum of Energy）这一概念，包括普朗克自己。

一天早晨，普朗克和他七岁的儿子埃尔文（Erwin）一同离家出门，这对父子是去附近的格伦沃尔德森林散步。普朗克最喜欢的消遣就是在森林里漫步，而且他喜欢携子同行。埃尔文后来回忆说他们边走边聊，父亲对他说：“今天，我有了一个可以和牛顿比肩的重大发现”。多年以后，再回忆起那一幕的时候，埃尔文已经记不清到底是哪一天他和父亲进行的这次散步，大概是普朗克进行十二月的那次学术报告前的某一天。有没有可能那天普朗克完全认识到量子的伟大意义？或者他只是试图向自己的儿子显摆一下他的新辐射公式是如何重要？这两种猜测都不正确。普朗克如此兴奋只是因为他发现了不止一个，而是两个基本常数，k和h，前者被他称为“玻尔兹曼常数（Boltzmann's Constant）”，后者被他称作是“动量子（Quantum of Action）”，后来被其他物理学家命名为“普朗克常数（Plunck's Constant）”。这两个数都是固定的永恒的，是大自然赐予我们的绝对常数。

普朗克认为自己欠玻尔兹曼一份人情，因此当他在推导黑体辐射公式的过程中发现这一常数时，他用这位奥地利物理学家来命名这个数。另外，普朗克还先后在1905年和1906年提名玻尔兹曼为诺贝尔奖候选人。但这一天来得有些迟了，玻尔兹曼长期以来疾病缠身，他患有哮喘，偏头痛，视力衰退和心绞痛等多种疾病，但真正困扰玻尔兹曼的是严重的抑郁症。1906年九月，在意大利里雅斯特（Trieste）省的杜伊诺（Duino）休假期间，玻尔兹曼上吊自杀。那一年，他62岁。尽管玻尔兹曼的朋友们一直以来就担心什么时候会突然听到他的死讯，但当这个最坏的消息真的到来的时候，朋友们无不感到震惊。玻尔兹曼总觉得自己被大家孤立，也没有人欣赏他的学识。可事实是这样的吗？玻尔兹曼是那个时代声名最为卓著且受众人敬仰的物理学家之一。但是，由于在原子是否存在这一问题上，玻尔兹曼和别的学者展开了旷日持久的论战，结果让他心力交瘁，觉得自己一生的成果正一步步被人打入冷宫。1902年，玻尔兹曼第三次也是最后一次返回到维也纳大学。玻尔兹曼死后，维也纳大学向普朗克发出邀请，希望能由他来继承玻尔兹曼的衣钵。尽管普朗克认为玻尔兹曼的工作是“理论研究中的最辉煌的成果之一”，而且他也确实对维也纳大学所许诺的优厚待遇怦然心动，但他还是婉拒了这个邀请。

常数h好比是一把利斧，可以将能量切割成量子，普朗克就是锻造这把斧头的第一人。但是，普朗克只是将那些假想的振子释放或者吸收能量的过程量子化。普朗克并没有量子化，或者说将能量本身切割成大小为hv的能量块。毕竟，发现一个新事物和弄清这一新事物的原理是两码事情，尤其是在这个过渡时期。普朗克本应发现的东西依旧隐藏在他的推导过程中，事实上，他自己也不清楚这到底是什么东西。他本来应该将振子做量子化，进行单个考虑，但他并没有明确地这么做，而是将这些振子当做一个整体考虑。

普朗克所犯的错误之一就是他认为自己可以消除掉量子，等他意识到自己这个错误时他已经走出很远了。普朗克的保守是深入骨髓的，其后果是他试图将量子融入到现有的物理体系中去，这种无用功白白耗去了他的大好时光。他也知道有些同行认为他的工作不过是自寻死路。“但我并不这么看。”普朗克后来写道：“我现在明白一个事实，那就是h这一基本量子常数在物理学中有着非凡的意义，但我起初居然对此心存疑虑。”

1947年，普朗克病逝，享年89岁。又过了数年，普朗克以前的学生和他的同事詹姆斯·弗兰克（James Franck：1882～1964）曾经回忆说普朗克为了“避开量子理论，或将量子理论的影响降到最低点”而进行了绝望的挣扎。弗兰克很清楚，普朗克“是一个与自己的本心做抗争的革命者”，他“最终得出了结论——‘我以前做的是无用功。我们必须和量子理论共处一室。请相信我，这一理论会得到发展的。’”这段话是一段恰如其分的墓志铭，正适合这位欲拒还迎的革命者。

物理学家的确不得不和量子“共处一室”。但是，第一个吃螃蟹的人并不是普朗克那些名声显赫的同行，而是一位居住在瑞士伯尔尼（Bern）的年轻人，只有他一个人认识到量子的革命性意义。这位年轻人并不是一位职业物理学家，而是一个初级公务员，普朗克认为他就是第一个发现能量本身是量子化的那个人，他的名字是阿尔伯特·爱因斯坦。

(第一章完)

第二章·专利的奴仆（1）