主题：266-June Barrow-Green：怎样科学地打炮 -- 万年看客

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我们先从公元前四世纪的亚里士多德以及他的投射物运动理论开始。亚里士多德认为，假设你向斜上方发射一个物体，那么这个物体首先会沿一条直线继续向斜上方飞行，直到突然停止并且垂直坠落。我相信绝大多数人都曾亲眼见过投射物的运动轨迹，并且意识到投射物的实际运动轨迹与亚里士多德的说法多少有点出入。但是从发射火炮的炮手的视角来看——火炮在十四世纪初期才正式展露头角，当时还没有冲向炮兵阵地的坦克之类的东西，炮手们只需向静止目标开炮，例如城堡与城墙——此时的炮手只需关心两件事：首先，炮弹要飞得足够远；其次，炮弹要最终落在目标上。画面上这张图片选自1561年的炮兵教材，完全采用了亚里士多德的理论。

亚里士多德之后第一位尝试分析投射物轨迹与弹道学的人是一位意大利数学家，名叫尼科洛.丰塔纳（Niccolo Fontana），他更著名的名号叫做塔塔利亚（Tartaglia），也就是意大利语的“结巴”。十二岁那年他在战争当中被法军士兵重伤。法军士兵听任他自生自灭，多亏他的母亲将他救了回来。不过他身上留下了严重的疤痕。所以在余生当中他才会留起浓密的大胡子用来遮丑。塔塔利亚最著名的成就就是研究出了一元三次方程的解法——这件事本身就值得专门另起一堂讲座专门讲述。我们这里就不多说了。我之所以对塔塔利亚感兴趣是因为他的著作《新科学》（La nova scientia），这本书讲的正是弹道学。

画面上是这本书的扉页，观众们可能看不太清楚，但实际上扉页当中包含着大量细节。扉页下方写明了这本书将会是一本数学专著。“数学科学在此发言：若是有人想要知晓万事万物的根由，就就来了解我们吧。数学的道路向所有人敞开。”这段话上方的插画画得是欧几里德正在向来访者打开花园的门户，邀请他们进来参观，至于塔塔利亚本人已经先一步走进了花园里。在花园的左手边，我们可以看到两门火炮正在发射炮弹，一门炮向高空抛射，另一门炮贴近地面平射。从画面上可以看出，塔塔利亚心目中的炮弹运行轨迹确实是某种曲线。他将炮弹的运动轨迹分成三部分来分析。炮弹首先呈直线向斜上方飞行一段，然后呈弧线调转方向，再然后垂直掉落下来。这条轨迹依然并不完全贴合炮弹的实际运动轨迹，但是比起亚里士多德的直上直下多少还算前进了一步。话又说回来，塔塔利亚认为弧线部分其实是一段圆弧。用他的话来说：炮弹在第一部分轨迹做得是“暴力运动”，第二部分做得是圆弧运动，第三部分垂直下落做得是“自然运动”。塔塔利亚还主张要想让炮弹达到最远射程，炮口应当倾斜向上45度。从直觉角度来说这个说法倒也不算太离谱。尽管依然并不特别符合事实。

再接下来我们要请出数学与科学史上的巨人伽利略。伽利略肯定读过塔塔利亚的著作，因为他在1638年发表了《两种新科学的对话》。伽利略在书中构想了一个斜面滚球实验，由此来确定投射物的轨迹。假设在桌面上摆放一个斜面，斜面与桌面接触的部分有一点弧度，在斜面顶端放置一个沾满墨水的铜球，让铜球沿着斜面加速滚下斜面，滚出桌面，直到落地，在地面留下墨水痕迹。伽利略可以根据痕迹计算出铜球在水平与垂直方向各自运动了多少距离，并且根据两组数据之间的关系来推导铜球的运动轨迹。他做了很多实验，调整了斜面的角度与桌子的高度，记录下了大量数据。利用这种方法，伽利略确定了投射物的运动轨迹是抛物线。当然，伽利略在这里没有考虑空气阻力。伽利略本人也很清楚，将投射物轨迹简化为抛物线是理想化的做法。画面上是《两种新科学》的1730年英文译本，我认为最好还是选择贴近时代的译本，让大家更能体会十八世纪语言的风味：

“以如此强大的暴力投掷出去的投射物的过度动力”——所谓“过度”指的是炮弹飞出炮口时速度极快——“可能导致投射物的轨迹出现某些不规则。抛物线可能变得没那么陡峭，或者在初始阶段不那么类似曲线。但是本书作者并不会因此对于实际的火炮操作抱有任何偏见。说到火炮实操，最主要的依据就是算表的编纂。这张表包含了炮弹在各种不同高程之下能够飞行的距离”——人们想知道在打炮的时候，假如炮口角度是这么这么大，炮弹尺寸是这么这么大，那么炮弹会落在哪里，而算表对于炮手很有帮助——“由于这样的投射物或者炮弹是借助臼炮与一点点火药的帮助发射出来的。因此炮弹的动力并不会极大地违反常理，而投射物也会足够精确地沿着算表当中的轨迹行进。”换句话说，伽利略知道在计算炮弹的实际运行轨迹时必须考虑到空气阻力，但是他没能做到这一点。

即便在伽利略之后很久，人们依然在坚持使用塔塔利亚的三段式轨迹。画面上的插图选自1669年的《航海家杂志》，此时人们已经意识到了将空气阻力纳入投射物轨迹的计算是一个相当棘手的难题。但是确实有人采取了伽利略的抛物线理论，其中流传最广、最有影响力的是一本法国著作《扔炸弹的艺术》，同样出版于1669年，作者是尼克拉斯-弗朗西斯.布朗戴尔（Nicolas-François Blondel）。可以通过书中插图看到塔塔利亚的影响力依然存在，例如书中的火炮依然呈45度角向上。但是在本书的接下来的内容当中也出现了抛物线插图与伽利略的思想。

再接下来情况发生了极大变化，因为有了一位本杰明.罗宾斯（Benjamin Robins）。此人是一位英国数学工程师，有人称赞他将弹道学改造成了一门牛顿科学。罗宾斯生在巴斯，我们并不清楚他的早期受教育情况，只知道他在十八岁那年来到了伦敦，师从亨利.平伯顿（Henry Pemberton）。这一点之所以重要，因为平伯顿恰好是牛顿的《自然哲学的数学原理》第三版的编辑，罗宾斯投靠到他门下时他正在进行编辑工作。因此罗宾斯的著作显而易见地受到了牛顿的影响，尤其是牛顿关于投射物在有阻力环境当中运动轨迹的思考。此外罗宾斯还采用了微积分，他的1742年著作《炮兵原理》尤其依赖微积分。这本书于1746年为他赢得了皇家科学院的科普利奖章。很快他就被指派成为了东印度公司的首席工程师并被派前往印度监督当地要塞建设，不幸的是他刚到印度就染上热病，不出一年就去世了。但是他的著作依然深刻影响了后来的人们。

以当时的标准来说，这本书很短，只有150页。他在书中着重讨论了两件事。首先是内部弹道学，也就是枪炮弹在枪炮膛内部的运动。当你开枪开炮的时候肯定想要知道枪炮弹在枪炮膛内部如何运动。以及他们的出膛速度是多少？其次是外部弹道学，也就是枪炮弹出膛之后的路径能够打多高，能够飞多远，等等。这本书被誉为科学方法的优美范例，因为罗宾斯在书中首先提出一系列主张，这些主张构成了弹道理论或者说枪炮物理学的模型，然后他还用试验来测试自己的模型。显然他完全清楚理解空气阻力的必要性。比方说他选取了特定尺寸的炮弹与特定的炮口角度，根据当时的现有理论这枚炮弹“应该能打出17英里”，但是在实际操作当中这样一枚炮弹只能飞出半英里。

罗宾斯在弹道学领域最著名的成就之一就是弹道摆。这个装置根据牛顿力学与惠更斯悬摆理论制造，用途是计算投射物的初始速度。欧勒专门强调过这件科学设备的重要意义：“罗宾斯通过实验来寻求炮弹速度的方法毋庸置疑是炮兵学领域最具天才且最有用的发明之一。在他之前，所有针对这一课题提出的主张不仅缺乏把握，而且充满错误。”弹道摆的摆锤是一块长方板。试验时人们冲着这块长方板水平发射枪弹，长方板受到枪弹打击之后会向后摆动。长方板的下沿固定着一条纸带，随着长方板向后摆动，纸带也会被抽动。通过测量纸带被抽动的长度就可以算出悬摆曾达到的最高高度以及这一高度相对应的重力势能，然后反推出枪弹的速度。这个理念不仅简洁，而且非常成功。

罗宾斯还设计了另外一项设备，名叫罗宾斯旋臂。这项设备并没有收录在《炮兵原理》当中，而是他在之后才提出来的。这项设备的用途是测量空气阻力。在旋臂的远端可以安装形状不同的各种物体，然后在给予相同初始速度的情况下观察不同形状物体的不同减速程度。实验证明形状确实会影响物体的减速，或者说物体的形状与物体穿过空气的横截面积都会影响物体的减速。由此他得出结论：仅仅依靠牛顿理论还不足以充分描述空气阻力、物体形状、物体朝向以及物体相对空气的速率之间的复杂关系。真正的问题在于当一个物体划过空气时，物体与空气交界处的那一层空气究竟发生了什么？罗宾斯的具体措辞有所不同，但是他意识到了。在需要考虑空气阻力的时候，物体的形状与物体的朝向都很重要。这件设备如此成功，以至于一直被沿用到了十九世纪，直到十九世纪末风洞问世之后才被逐渐淘汰。风洞使得航空研究人员不必非得将飞机开上天空，而是可以利用飞机模型来研究飞机如何受到空气的影响。

用罗宾斯本人的话来说，“绝大多数作者”都很肯定空气阻力“与物体速率之间呈现二重比例的关系。”但是罗宾斯的研究表明这一主张“大错特错，除非限制在特定局限之内”。说的通俗一点，他意识到“二重比例”——即空气阻力与物体速率的平方成正比——这一原则仅仅在十分特殊的情况下才成立。罗宾斯还在马格努斯之前就发现了马格努斯效应，以至于有些人干脆将这一效应称作罗宾斯-马格努斯效应。罗宾斯注意到飞出枪口的子弹往往不会走直线，而是偏左或者偏右。他意识到造成这一点的原因涉及了枪膛里的膛线以及子弹刚飞出枪口时位于子弹后方的空气。但是这一现象得到正式确认还要等到十七世纪中期的马格努斯。

说了这么半天，我们终于谈到了欧勒。我相信在座的各位比我更了解欧勒，他是有史以来最伟大的数学家之一，他的著作横跨了整个十八世纪。欧勒出生在巴塞尔并在那里接受了教育，后来他前往圣彼得堡，再然后弗雷德里克大帝将他传唤到了柏林，再然后他又返回了圣彼得堡。欧勒的研究方向涉及了当时几乎一切数学领域，其中当然也包括弹道学。他在弹道学方面的主要著作都是在柏林完成的。他在这方面有三本著作，我主要介绍第二本——他在圣彼得堡完成了自己的第一本著作。今天的史学家与数学家之所以对于这第二本著作感兴趣，并不是因为书中的数学方法。而是因为这是全世界第一篇用字母e来描述自然底数的数学论文。这本书直到1862年才出版，因此并不影响我们这里要讲的弹道学故事。直到1736年欧勒才开始在公开发表的论文当中使用e这个符号，但是此前他也在1727年与1728年的未发表论文当中用过这个符号，这些论文直到他去世后才得见天日。

欧勒之所以要投身于弹道学研究，是因为弗雷德里克大帝当时正陷于奥地利继位战争，他希望欧勒能帮助他提振军力。欧勒非常明智地表示我当然可以做很多实验来研究弹道学问题，但是这样做将会非常耗时，更有效的方法是将罗宾斯的作品作为基础进行进一步研究，在前人的试验基础上发扬光大。换句话说，他需要将罗宾斯的书翻译成德语。欧勒在编译过程中听取过伯努利以及陆军元帅塞缪尔.冯.施梅陶伯爵的意见。用德语写作对于欧勒来说并不常见，人们认为他之所以这么做是为了方便下层军官理解。书中的数学内容在今天的我们看来或许有些牵强，但是这本书还包含大量文本，而我认为这些文本当中包含着相当可行的假说。尽管名义上是一本译作，但是这本书的篇幅却相当于罗宾斯原著的五倍。

此外欧勒与罗宾斯的关系还包含着相当有趣的一点：在欧勒开始翻译罗宾斯著作之前，罗宾斯曾经抨击过欧勒。1739年他曾经撰写论文批判欧勒的论文《论力学》（Mechanica），行文丝毫不留情面：“不幸的是，欧勒在遵循他的微积分原则时如此漫不经心，以至于违背了欧几里德本人……”“论文第四章的标题着实浮夸……”不过这些抨击并没能阻止欧勒意识到罗宾斯作品的重要性，他尤其欣赏弹道摆这项发明。不过他在批评罗宾斯时同样火力全开：“（罗宾斯的陈述）看上去如此脚踏实地且贴近事实，以至于难以对其提出最轻微的反对。不过他要么不熟悉好几本关于炮兵学原理的著作，要么刻意对这些著作闭口不言，以此来抬高他本人发现的卓越性。”

那么欧勒的书里都写了些什么？首先他支持炮兵学采用流数术（fluxions）或者说微积分：“有些人认为流数术只能应用于精微的猜测而没有实际用途，或者说无论采用流数术能够取得怎样的结论，这些结论都应当归功于早已为人熟知的低等数学。但是上文当中关于炮兵学的主张足以充分打消这种偏见。我们或许可以确定，假如不依赖流数术的话，许多基于数学的炮兵学现象都无法在一切条件下得到解释。”这里他采用了牛顿的语言，他支持罗宾斯采用微积分来解决炮兵学问题的做法。此外欧勒还明确指出，确定炮弹的实际飞行轨迹并不是什么不值一提的小事：“在这里罗宾斯先生再一次让我们对于确定炮弹的实际轨迹有了更进一步的期待。距离他的著作出版已经有些年头了，据我所知还没有其他任何关于这一课题的作品问世。这场探究如此困难。以至于笔者很有理由花费更长的时间来加以完成。”欧勒与罗宾斯都意识到了当前的弹道学著作尚不完善，需要进一步加以钻研。

欧勒的书怎么就扩充到了750页的篇幅？简而言之，欧勒详细分析了罗宾斯提出的每一条原则，并且在此基础上提出了自己的进一步原则，提出质疑，指出错误，添加新内容。比方说他认为罗宾斯用来确定弹丸出膛速度的公里并不准确，因为罗宾斯没有考虑到枪炮管长度这一因素。此外罗宾斯还认为当他向弹道摆发射枪弹时，枪弹一定能击中挡板的重心。欧勒则指出，枪弹恰好击中挡板重心的可能性微乎其微，必须考虑到打偏的因素。实际上罗宾森本人在著作出版之后也意识到了这一点并且随即向皇家科学院提交了论文，但是他并没有将自己的新想法纳入进一步的著作，因此欧勒没看见。

欧勒还研究了好几个新课题，比方说枪炮管的理论强度上限。我们在打炮的时候当然不希望炮管炸膛，换句话说欧勒进行了最早期的压力容器分析。这是罗宾斯没有做到的事情。他检查了枪炮管的金属成分、造型结构，装药量、后坐力甚至火药成分。画面上是欧勒书中的一幅插图，在这里他研究了水平射击时的情况。假设从e点开枪，瞄准f点，那么弹丸将会下落到f点正下方的g点；在e点与f点之间选择一点p，在这一点上弹丸的下落距离是m。欧勒想要知道弹丸要花多长时间才能飞到p点，此时弹丸所处位置与ef连线之间的夹角有多大，以及此时弹丸的速率是多少？画面上是欧勒为了解决这个问题采用的数学公式。可以想见下层军官恐怕轻易解不开这种难度的数学题。这套公式当中包含的变量包括弹丸的直径，弹丸的密度，甚至空气的密度。此外欧勒还研究了斜向上射击的问题，探讨了射击角度、弹丸最大高度与最大射程之间的关系。

总体来说欧勒都得出了哪些结果？首先，无论枪炮口角度有多大，实际射程都小于不考虑空气阻力时的理想射程，而且枪炮口的角度越大，实际射程与理想射程之间的差值就越小；其次，实现最大射程所需的角度小于45度；最后，假设弹丸很重而且飞行速度比较慢，那么可以用一套估算公式来计算实现最大射程所需要的角度，但是他本人也承认这个公式在实际应用当中用处并不很大，，日后还有必要加以改进。另一方面，欧勒也曾错误地否认了马格努斯效应的存在，他认为弹道偏转的原因是因为弹丸本身形状不够完美。

欧勒还针对达朗贝尔佯谬发表过意见。假设存在无黏性且不可压缩的流体并让一个物体匀速穿过这种流体。理论告诉我们该物体不该受到阻力，但是实践告诉我们确实会存在阻力。欧勒指出问题出在边界层上。后来欧勒用法语发表了一篇论文，包含了更多的研究内容。这篇论文题目是“对于正确描述物体被投入空气或者其他流体之后的运动状态的曲线的研究”。在这篇论文当中，他彻底分析了阻力介质当中的弹道运动涉及的各种公式——不仅是空气，而是一切阻力介质。此时他依然认为空气阻力与弹丸速率平方成正比，换句话说他的研究范围依然非常有限。他将射程、弹丸高度、时间与弹丸速率整合进了同一个公式，并且借此给出了一张弹道算表，这也正是弗雷德里克大帝真正想要的东西。罗宾斯的著作一开始并不包含弹道算表，不过他在1746年的作品当中确实将算表添加了进去。但是这件事情欧勒并不知道，因为这部作品直到罗宾斯去世以后的1761年才出版。

欧勒带来了怎样的影响？画面上是一封A.R.J.杜尔哥写给路易十六的信。此人是路易十六的海军大臣与财政总监，他向路易十六推荐了欧勒的两本书，“一本是《关于舰船的建造与操作》，另一本是对于罗宾斯的炮兵学原则的评论”。海军论文是用法语写成的，炮兵论文则是用德语写成的，所以后者还需要翻译。另外有趣的一点在于，杜尔哥还特意指出，如果若出版这两本作品而未经作者同意，将会损害他对于自己著作的所有权，“不过我们很容易就能向他支付一笔费用，一方面让他颜面上很过得去，另一方面又能增添陛下您的荣光。这笔钱可以由海军的私密账户来开支。”杜尔哥还给欧勒本人也写了一封信表示：“当我执掌海军时曾经要求我的手下研究您的两本书，因为我想不到我还能采取什么更好的方法来提升他们的水平。如果我之前能联系上您的话，我肯定会在使用您的作品之前争取你的同意，但是我知道国王陛下肯定会为了征用您的资产而为您提供补偿。陛下批准我向您支付1000卢布，以此证明他多么看重您的作品。”接下来欧勒的作品又出了英文版，所以说罗宾斯的英文版作品被翻译成了欧勒的德文版，然后欧勒的译作又被回译了英文。有一位休.布朗当时正在伦敦塔工作，他与英国军械局有联系。军械局委托他将欧勒的作品翻译成了英语。值得注意的是，罗宾斯与欧勒的标题都是“新原则”，而布朗用的标题则是“真原则”

欧勒作品的法语版译者是一位让.路易.伦巴德，此人是奥克松皇家炮兵学院的数学教授，还曾经是拿破仑的老师。有证据表明拿破仑本人读过这套译本，此外他还亲自为罗宾斯的著作撰写了一份12页的内容总结，原件现在收藏于拿破仑档案馆，这份总结于1895年以未经修订的形式出版。由此可以肯定，拿破仑对于罗宾斯和欧勒的评价都很高。

综上所述，我们可以看到罗宾斯与欧勒的弹道学著作如何扩散开来。1751年罗宾斯的作品被翻译成了法语，不过仅仅以手稿的形式翻译，仅供法国科学院内部阅读。1761年罗宾斯去世以后，詹姆斯.威尔逊出版了罗宾斯的全套数学著作并且重印了《新原则》。1764年，一位德国陆军军官借助欧勒的方法制定了一套完整的弹道测距表。1781年，普鲁士军事学院院长基于罗宾斯与欧勒的分析撰写了《普鲁士炮兵》一书。刚才我们提到伦巴德于1783年将欧勒的作品翻译成法语，这套译本又得到了拿破仑的研读。最后在1805年，查尔斯.赫顿再次重印了罗宾斯作品选，作为伍尔维奇皇家军事学院的教材。所以说这套弹道学理论源自英国的罗宾斯，然后由说德语的欧勒发扬光大，然后又在1777年传回英国，由伦巴德传入法国。这一时期是欧洲历史的关键时期，战争此起彼伏，终日不停。我希望大家能够理解内部与外部弹道学并不是什么可以轻松解决的小问题。十八世纪的科学家已经意识到了这一点，而罗宾斯与欧勒的著作则为弹道学这门科学奠定了两大支柱，谢谢大家。