主题：要是我来出高考题，我会出这类的 -- 大洋芋

没学过抽象代数这类东东，大概想了一下，不知道对不对？

第一题：

1、因为“且不存在实数a，使得g(x)≡ax”

总存在g(x0)/x0=alpha 使alpha不是0

存在一个点x1使得g(x1)=alpha*x1+beta （beta也不是0）

2、因为“g(x+y)=g(x)+g(y)”

所以g(x0)=2*g(x0/2)=4*g(x0/4)=...=2^n*g(x0*2^(-n))...

3、把x1写成x1=n0*x0+n1*x0*2^(-1)+...+ns*x0*2^(-s)+dx，其中ni都是整数。可知 g(x1)=alpha*(x1-dx)+g(dx)，推出g(dx)=beta+alpha*dx，定义为b

4、对于任意一点(xx,yy)，做一个半径为r的圆。xx可以写成xx=m0*x0+m1*x0*2^(-1)+...+mt*x0*2^(-t)+dxx，其中mi也都是整数，只要t足够大dxx就可以小于r/4。

5、如果yy-g(xx-dxx)=c的绝对值也小于r/2，那么这一点就找到了，否则在3中把s取足够大，可以同时做到以下两点:

因为beta是一个常数，总可以找到足够大的r，使c=L0*b+L1*b*2^(-1)+...+Lr*b*2^(-r)+d时，d的绝对值小于r/2（Li也是整数）

而且dx足够小，使L0*dx+L1*dx*2^(-1)+...+Lr*dx*2^(-r)的绝对值小于r/4

6、于是我们就在圆心为(xx,yy)，半径为r的圆内找到了点：

x=xx-dxx+L0*dx+L1*dx*2^(-1)+...+Lr*dx*2^(-r)

y=g(x)=yy-c+L0*b+L1*b*2^(-1)+...+Lr*b*2^(-r)

这里|x-xx|<r/2；|y-yy|<r/2，g(x)=y，得证

不过这个想法明显是学了微积分以后的思路，还不知道是不是严格，不知道有没有特别简明的做法...