五千年(敝帚自珍)

主题:谈谈陈经的"预测和自由意志"的例子 -- CatOH

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家园 简单的说一下我的理解

一个形式系统FS,如果在FS中蕴含了皮亚诺的五条关于整数公理,那么就说它可定义数论命题。这五条公理是:

· 1是自然数;

· 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数;

· 如果b、c都是自然数a的后继数,那么b = c;

· 1不是任何自然数的后继数;

· 若任何集合X, 如果1属于X, 并且n属于X可以推出n'属于X,另外X不包含其他的元素,则X等同于自然数集合。

Godel证明,如果FS可定义数论命题,则FS要么是不一致的(可能有A 和非A两个命题同时存在),要么是不完备的(其中有一个用FS表述的命题,其真假性无法判定)。

所谓自指没有明确的数学定义。事实上能够定义出罗素悖论的系统可以很简单,反过来说,可以修改公理体系来避免罗素悖论,但这个体系仍然可以包含数论命题。

至于if…then…goto则属于更基本的算法描述上,它不是形式系统的组成部分。或者可以说它是一种简写,方便人们对算法的理解而存在的。

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