主题：【原创】今天的数学（系列） -- qiaozi

第一章　素数

第二节　数数素数有多少

第一段　有很多篇

上回书说到，作为乘法的基本元素，人们引进了素数，或者称为质数。素数就是不能写成其他自然数乘积的数。

既然有了素数，而且我们可以轻易的找出一大堆素数，诸如2，3，5，7，11，13，17，19……，一个典型的问题便是素数究竟有多少个。有无穷多个素数，还是只有有限多个素数？如果只有有限多个素数，那么到底有多少，又怎么能把它们全找出来呢？乍想起来，似乎答案是很自然的无穷多。可是，既然我们已经知道我们宇宙的年龄不是无穷大，宇宙的大小不是无穷大，也许素数的个数也不是无穷大？直觉和物理类比，哪一个更可靠？

幸好，在两千多年前的古希腊人们没有这样的困扰。伟大的爱因斯坦、哈勃、霍金和其它很多同学这时都还没有出生，于是一个伟大的数学家看准机会出生了。他就是欧几里德（Euclid）。那时候宇宙的年龄还是无穷大，宇宙的大小还是无穷大，所以没有理由怀疑素数的个数也是无穷大。在他那著名的《几何原本》（Elements）的第九章第20个命题中，他给出了一个巧妙的证明，这也是反证法最早的应用之一。

定理　素数有无穷多个。

证明　假设素数只有有限多个，那末我们可以把它们全乘起来再加一，得到一个新的（很大很大的）自然数N。一方面，我们知道N必然有一个素数因子（也许就是它本身）；另一方面，N又不能被任何素数整除，因为余数总是一。二者矛盾。因此素数必须有无穷多个。证毕。

在欧几里德之后，人们又提出了各种各样的几百个证明，可是欧几里德的证明仍然是最简单、在某种意义上也是最漂亮的。

现在数素数的问题似乎解决了，无穷多个嘛。无穷多就是无穷多，还有什么可说的？错！大错！大错而特错！咦，我还能加字儿！

下面我们课间休息十分钟。那个谁，把那张《十分钟的恋爱》给大家放一下，待会儿写听后感。