主题：【原创】中国古代的科学家们——数学家之祖冲之 -- 安德的游戏
家园 关于“疏率”和“密率” 一种理论认为这是祖冲之采用“连分数”记数的自然结果。
简单说，祖冲之认为3.1415926<pi<3.1415927，取中值3.14159265用连分数表示为：
3 + 1 / ( 7 + 1 / ( 15 + 1 / ( 1 + 1 / 288 + 1 / (...) ) ) )
如果略去尾数，可得：
3 + 1/7 = 22/7，既疏率。
3 + 1/(7+1/15) = 333/106。
3 + 1/(7+1/(15+1/1)) = 355/113，既密率。
我个人认为这个理论解释很接近真实情况。
家园 送花—— 古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。
引自《隋书·律历志》
家园 看来这会成为一个系列了 祖冲之，张衡……
看来是有的看了阿。
家园 【原创】补充一下割圆法 我们说到刘徽用割圆法得到了圆周率的值，那么什么是割圆法呢？我们先看看圆内接正六边形，如果圆的半径是1的话，那么六边形的每一边都是1，周长就是6。如果用圆内接正六边形近似圆周的话，就可以得到跟直径的比，也就是圆周率的近似值是3。如果像下面这张图，每一边都变成两条边，也就是说内接正多边形的边数翻一倍，根据刘徽得到的结论，边长就会更接近圆周。其实几何上可以证明，边长跟正多边形的面积是关联的，当正多边形边数越多，就越接近于圆，面积也就越接近于边长为一的圆面积，也就是圆周率的数值了。
具体的操作，我们假设圆内接正n边形的边长是d，那么根据勾股定理，2n边形的边长就是sqrt(l^2+(d/2)^2)。怎么得到l的长度呢？这个也是初中几何的内容，根据勾股定理得到l=1-sqrt(1-(d/2)^2)。（才发现l和1不好区分，大家凑合看吧）所以最后得到的圆内接正2n边形的边长就是sqrt(2-2*sqrt(1-(d/2)^2))。现在看到了，每多倍增一次多边形的边数，要做一次平方，两次开方，还有其他的一些运算。用Excel可以很容易得到当时祖冲之运算的结果，我把边数，边长和总长度列出来如下：
6 1 3
12 0.51763809 3.105828541
24 0.261052384 3.132628613 0.026800072
48 0.130806258 3.139350203 0.00672159
96 0.065438166 3.141031951 0.001681748
192 0.032723463 3.141452472 0.000420521
384 0.016362279 3.141557608 0.000105136
768 0.008181208 3.141583892 2.62842E-05
1536 0.004090613 3.141590463 6.57109E-06
3072 0.002045307 3.141592106 1.64281E-06
6144 0.001022654 3.141592517 4.10545E-07
12288 0.000511327 3.141592619 1.02053E-07
24576 0.000255663 3.141592645 2.66804E-08
看，祖冲之算到24576边形，已经很接近圆周率了。
有人问，第四列是什么数？这个，呵呵，接下来，就是我自己的发挥了。我们注意到，每倍增一次边数，得到的圆周率越来越接近真值，那么每次增加了多少呢？这个就放在第四列了，表示比上一次运算增加的差值。仔细看看，发现一个有趣的规律：每次增加的差值基本上是以四分之一递减的。到了384边形，这个规律已经很明显了。我们现在要大胆假设，以后的增加也是以这个规律来的，那么后面我们就不再算了，而是改用四分之一递减的无穷级数的和来代替。从384以后，无穷级数的和是前一个差值0.000105136的三分之一，我们把这个值加到384边形边长3.141557608上面，就得到了3.1415926533。看！这个数跟圆周率在小数点后面第十位才有差别，比祖冲之的结果精确100倍。
当然，这是对割圆法的创新，用几乎百分之一的边数得到几乎一百倍的精确度。不过想一想祖冲之是在什么年代，拥有的是什么样的数学方法和计算工具。而我们学到现在掌握了多少现代的科学知识和工具，这点改进也就只能算游戏了。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 从前面七个数据可以计算到误差约3*10^(-15) 连续套用公式(19)，可以得到3.14159265358979635
家园 最后这个步骤 最后讲的这个步骤在近似计算里头叫外推法, 如果更仔细一点的话, 还能推出更高精度的外推公式
家园 这个你“自己的发挥”是不是世界首创？ 如果是发表出来大概也能得个什么数学奖。
用这个方法在计算机上就可以算出无限多位小数，极限取决于计算机软硬件。
家园 好文！花之。 挑个小刺－－纸和比当时是有的，不过没用来做数学运算。
有个趣闻，民国某年，当时都是各个大学自己出题让考生来投考，国文考试卷上有一位考官出了个对子，上联是：孙行者，要求对下联。
大家没有一个对的好，只有一个学生勉强对了一个人是：胡适之。然而其实真正的答案是：祖冲之。
