主题：【易经数构】（4）“大衍之数五十”随机模拟决策 -- 唵啊吽

上回链接：唵啊吽:【易经数构】（3）阴阳循环运动论

【周易·系辞上】【1】：“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰；五岁再闰，故再扐而后挂。天数五，地数五。五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。《乾》之策二百一十有六，《坤》之策百四十有四，凡三百六十，当期之日。二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也。是故四营而成《易》，十有八变而成卦，八卦而小成。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。显道神德行，是故可与酬酢，可与祐神矣。子曰：‘知变化之道者，其知神之所为乎。’”

这段文字有多种解释，本文给出几个链接。其具体操作如下。

1、 取50根算筹，然后放下一根不用。【大衍之数五十，其用四十有九】

2、 将49根算筹分成两堆，如果每根算筹都一模一样，这样分两堆的可能的结果有24个，即（1，48）；（2，47）；……；（23，26）；（24，25）。但是，考虑到后边的操作，应该是经过所有操作后还是两堆不为零的算筹，所以（1，48）这个结果不能要，即认为两堆每堆算筹数目都大于等于2。这样，这个操作就可能有23个结果。我们进一步假设23个结果出现的概率都一样（等几率假设）。【分而为二以象两】

3、 然后将其中一堆中取出一根放到一旁，即两堆中间有一堆少了一根算筹。假设这个取出一根也是等几率的事件，那么前述23个结果的每一个都有相等的几率变为两个结果，那么经过这个操作后我们有24个结果『（1，47）；（2，46）；……（23，25）；（24，24）』。其中得到（1，47）和（24，24）这两个结果的概率是（1/46），其余结果的概率是（1/23），而每个结果的两堆算筹的总和是48。【挂一以象三】

4、 将两堆中的算筹四根四根地往外拿，一直拿到每堆中剩下的算筹数目在大于等于1而且小于等于四。由于两堆中的算筹的总数是48，这样拿的方法剩下的两堆中的算筹的总数或者是4，或者是8。操作到此我们揲四从两堆中拿出40策的概率是11/46，而拿出44策的概率是35/46。

5、 以上从步骤2至4的操作叫一变。将这44或40个算筹重复2－4的步骤：分二、挂一、揲四，归扐。从40筹算到步骤3的结果是『（1，38）；（2，37）；……；（18，21）；（19，20）』，其中有1/38的概率得到（1，38），有3/38的概率得到（19，20），其余结果的概率是1/19。将揲四拿出的算筹加上挂一的算筹为32个的概率是4/19，为36的概率是15/19。而44策二变的结果为36的概率是5/21, 为40的概率是16/21。

6、 三变起始的算筹如果是32的话，得24的概率是1/5，得28的概率是4/5。起始算筹是36的话，得28的概率是4/17，得32的概率是13/17。起始算筹数目是40的话，得32的概率是4/19，得36的概率是15/19。

7、 三变之后，四揲出来的算筹加上挂一的算筹有四种可能，即24，28，32，36。

得到24的概率是(11/46)×(4/19)×(1/5)＝44/4370=22/2185=0.01006865。

得到28的概率是(11/46)×(4/19)×(4/5)+ (11/46)×(15/19)×(4/17)+ (35/46)×(5/21)×(4/17)=（176/4370+660/14858+700/16422）=0.12732086。

得到32的概率是0.404944587。

得到36的概率是0.457665904。

8、 再推概率

上边用等几率假设，实际操作的几率很可能是正态分布几率或其它几率。如果是正态几率发布，一变中（1，48）；（2，47）；……；（23，26）；（24，25）应该是（24，25）出现几率最高，（1，48）出现几率最低，把49开平方做位标准误差，得7， 即分两堆分出的数目的一个标准误差范围大致是『（17，32）；（18，31）；……；（23，26）；（24，25）』。每一变或减少4策，或减少8策，记减少4策的几率为p，减少8策的几率为q，由于四揲操作，我们可以粗略估计p＝3/4, q＝1/4。三变下来，用p和q做二分树图，我们得到

得24的概率为q^3＝（1/4)^3＝0.015625

得28的概率为3(q^2)p＝3×（1/4)^2×（3/4）=0.140625

得32的概率为3q(p^2)＝3×（1/4）×（3/4）^2=0.421875

得36的概率为p^3＝（3/4）^3＝0.421875

结果和等几率假设计算差不多。即这个“分二”操作的结果这一随机事件的几率发布不敏感。所以，我们不必过细地追究这一随机操作的几率发布。

9、 三变成一爻。如果三变得24策，以四揲数24策，六揲就数尽24策，得六。所谓“四营而成《易》”。类似地，28策得7揲，32 策得8揲，36策得9揲。我们列表如下：

策数 揲数 四像 爻符 爻名

24 6 老阴 X 交

28 7 少阳 — 单

32 8 少阴 -- 拆

36 9 老阳 口 重

10、 十有八变而成卦

三变决出一爻，易经64卦每卦有六爻，所以得用18变才能决出一个卦来。我们读易经看到的卦符每卦六爻，阳爻用单，是少阳爻符；阴爻用拆，是少阴爻符。【周易·系辞上】说：“《乾》之策二百一十有六，《坤》之策百四十有四，凡三百六十，当期之日。二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也”。乾卦用了六阳爻，记的是老阳的策数，每爻36策，六爻共216策。坤卦用了六阴爻，记的是老阴的策数，即每爻24策，六阴爻共144策。卦爻用的是少阳少阴的爻符而记的却是老阳老阴的策数。策数是用老阳老阴，爻符用少阳少阴，这文字和符号似乎不太吻合。

让我们在详细推敲一下。如果按照“《坤》之策百四十有四”，即六爻都是老阴。但是，按照三变的操作，得一老阴的概率为百分之一，十八变得六老阴的概率就是10－12，这几乎是不可能事件。如此看来，卦符中阴爻用的是少阴可能性比较大，所以用的是爻是拆，但这与“《坤》之策百四十有四”不符。“《乾》之策二百一十有六”，这个几率还过得去，即三变得老阳的概率约为40％， 接近二分之一，但是无法解释为什么卦符中阳爻的爻符用的是少阳，即单符。得一少阳的几率约为12％，十八变得六少阳的概率越为百万分之一，也是几率很小。即经卦的起卦时，阳爻源于策数比较合理，而阴爻源于爻符比较合理。或者说两种说法都不容易解释，因为我们不能用一种方法解释阳爻，用另一种方法解释阴爻。

前边本体论讲了以卦符记述存在，运动论记述变化。变易是《易》的核心思想之一。决策不单是决定一个卦像，而且要决定卦的变化，所谓变卦。中国哲学思想认为“物极必反”，用到这里，老阳和少阳都是阳爻，但老阳是变爻，而少阳不是变爻。同理，老阴是变爻，少阴是不变爻。卦符记不变的客观事物，用少阳和少阴的爻符“单”和“拆”，而变爻则有两个要素要记载，一个是“阴阳”属性，用爻符“单”和“拆”来记录。一个是变化的操作，用“九”和“六”来标记。如老阳，记为阳符，用不变的少阳“单”符记载，同时用“九”标记变化操作。

让我们用“需”卦作为例子来解释一下。需，乾下坎上，六爻由下至上是阳、阳、阳、阴、阳、阴。画卦由下至上为单、单、单、拆、单、拆。

初九，需于郊，利用恒，无咎。

九二，需于沙，小有言，终吉。

九三，需于泥，致寇至。

六四，需于血，出自穴。

九五，需于酒食，贞吉。

上六，入于穴，有不速之客三人来，敬之终吉。

如果十八变得到一个需卦，其中阳爻有老阳和少阳，一律用单符记爻，表示阳，但是，如果是老阳，则表示该爻有变，用“九”“几”来文字说明，所谓“初九，九二，九三，六四，九五，上六”中的“九”和“六”就是对相应的“初、二、三、四、五、上”爻的变易运算。至于是否应该进行运算，要看十八变起卦时揲出的是否是老阴老阳的策数。如果是少阳少阴，则爻不变，如果是老阳老阴，则爻要变，阳变阴，阴变阳。这样，我们可以十八变得出本卦和变卦。易经代数于是有六十四个元素，对每个元素有64种运算（如果不变也算一种运算的话）。至于取那种运算，要看十八变中第几爻是变爻而定。

由以上概率计算的结果可以看出，阳爻是变爻（老阳）的几率比较大，阴爻是变爻的几率比较小，这和“阳动阴静”的概念相符合。

决策依靠的是非完整信息，所以有随机性。解决没有随机性的问题我们称为计算，二解决信息不完全的问题我们称为决策，或卜蓍。所谓“不疑不卜”。如今应用计算机模拟来决策问题，也要引入随机数，这是由于这个世界许多事情我们无法预知也无法控制，古代更是如此。“大衍之数五十”的起卦方法，可能不是其它抛铜钱的方法所能取代的，原因之一就是变爻的阴阳不对称性。“大衍之数五十”的起卦方法得到的阳爻容易变而阴爻不容易变，如果前述本体论是对宇宙的描述，那么“大衍之数五十”的起卦方法就是对宇宙的模拟，它模拟宇宙的运动，“阴”变的几率很小，而“阳”变的几率很大，但都有不确定性。

所以，我们把十八变得到的老阳少阳（九、七）都记为阳爻、老阴和少阴（六、八）都记为阴爻，即得到本卦。然后把变化（阴变阳、阳变阴）变爻（老阳老阴）得到变卦。

11、 补充说明“阴阳四像”

这段补充主要是为了说明老阳和老阴为变爻的哲学理念。四像应用之一是

太阳＝夏

少阴＝秋

太阴＝冬

少阳＝春

少阳是大地回春，其变化是继续变暖，所以阳的属性增加，但没有质变。太阳是夏，天气很热，所谓太阳，但是，其变化是阳的减弱，是变成阴。秋冬解释类似。

把一天分四时也可以有类似的“阴阳四像”描述。

这种周期运动，如果用阴阳为一轴，时间为另一轴，画一个周期变化的函数（如正弦函数），以正数代表阳，符数代表阴。我们就可以把四像表达为对偶（函数的正符，函数导数的正负）：

少阳＝（＋，＋）

太阳＝（＋，－）

少阴＝（－，－）

太阴＝（－，＋）

老阳和老阴的导数使得阴阳函数值往相反方向变化。这是连续函数。易代数是离散有限代数，用“九”和“六”标记“变化”操作，叠加在阴爻和阳爻的爻符之上。

如果采纳本文的解释，那么易经中的爻辞的“初九”就读为“第一爻从阳爻变为阴爻的话”，“九二”就读为“第二爻由阳爻变为阴爻的话”，“六四”就读为“第四爻由阴爻变为阳爻的话”，等等。

12、 再侃一会儿

“二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也”。六十四卦每卦六爻，阴阳爻各占一半，以阳爻36策，阴爻24策，合计共12520策。“是故四营而成《易》，十有八变而成卦，八卦而小成。”

伏羲拿蓍草决策，如果每爻的蓍草都存起来，一爻大约200策，六爻大约1000策，八卦小成约需万根蓍草，这就出乱子了。所以，实际卜蓍时应该三变成一爻以后，即在地上画上爻符，然后用这五十根蓍草做另一个三变。如此反反复复估计用五十根蓍草就绰绰有余了。经济一点的操作实际上48根蓍草就可以了，不过，多两根备用是应该的，即便今天做任何事情，都要留有一定余地，万一有一根蓍草被风吹走了，也不至于打断衍算。

【1】 http://www.guoxue.com/jinbu/13jing/zhouyi/zy_003.htm

【2】 http://www.dfg.cn/gb/chtwh/dyjs/dyjs-15.htm

【3】 http://www.qlzhouyi.com/ShowArticle2.asp?ArticleID=764

【4】 http://www.zgwww.org/guoxue/html/bbsGuoXue/chuantongwenhua/00000023.htm

下回链接：唵啊吽:【易经数构】（5）八卦阴阳模型应用

• 【易经数构】（3）阴阳循环运动论
• 【易经数构】（5）八卦阴阳模型应用