主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

要把一个环弄成一个域，我们可以回想整数环是怎么给弄成有理数域的：本来在整数环里有些除法可以做，比如15/3=5，这可以通过3*5=15来解释。有些除法就不能做，比如1/3=?，没有什么整数乘以3会等于1的，作为乘法逆运算的除法在这个时候就没法定义。这时候，我们可以把1/3这样的元素补充进去，最后弄出有理数集合来，它在加法乘法下就是个域：有理数集合里加减乘除都能做（除了除以0以外）。

前面的Zn怎么把它变成域？很遗憾，上面这套加元素的把戏要么行不通，要么用不着（不过这套把戏在其他地方还是很用得着的，比如可以添加元素把多项式环变成有理函数域，这个在这里就不讲了）。具体来看看为什么。

先看Z10，我们前面说过它有个怪异的地方是有可能两个不是[0]的元素乘起来也会是[0]：

[2]*[5] = [10] = [0]

这就麻烦了。你说比如[1]/[5]得是什么？就算我加进去一个原来不存在的元素x，命令它就是[1]/[5]，那么我们会有[1]=x*[5]，现在等式两边乘[2]，我们就有

[2]=[1]*[2]=x*[5]*[2]=x*([5]*[2])=x*[0]

两边再乘以[2]：

[4]=[2]*[2]=x*[0]*[2]=x*([0]*[2])=x*[0]

这下好，[2]和[4]都等于x*[0]，于是[2]=[4]，这就乱套了。前面整数环可以变成有理数域，是因为没有这种会乱套的东西出来，而不会乱套是因为两个不是0的整数乘起来也不会是0。而Z10的性质就没这么好，所以没法变域。

再看Z7。它里面不会有两个不是[0]的元素乘起来得[0]。为什么？要是

[x]*[y]=[0]

那么[x*y]=[0]，也就是x*y能被7整除（除以7的余数为0）。可7是一个素数，除了1和自己就没有因子了，所以不是x可以被7整除，就是y可以被7整除，换句话说，不是[x]=[0]，就得是[y]=[0]。所以Z7里不是[0]的两个元素乘起来就不会是[0]。

你说这下好了，我们就可以玩整数环变有理数域的把戏了。可是用不着，实际上Z7不用添任何其他元素，它已经是个域了。在Z7里做乘法：

[1]*[1]=[1]，[2]*[4] = [1]，[3]*[5]=[1]，[6]*[6]=[1]

于是就象在整数环里不用添加元素还是可以做的那些除法一样，我们有

[1]/[1]=[1]，[1]/[2]=[4]，[1]/[3]=[5]，[1]/[4]=[2]，[1]/[5]=[3]，[1]/[6]=[6]

所有非[0]的元素其实都已经有了“倒数”（行话叫“乘法逆元”，到现在下面sywyang说的很牛叉的口诀中的“乘群么逆”大家都碰上了：乘法，群，么元，逆元）。

这下好了，任意两个元素的除法就解决了，比如：

[3]/[5]=[3]*([1]/[5])=[3]*[3]=[2]

而且这样的除法的确是乘法的逆运算：

[2]*[5]=[3]

Z7和Z10到底有什么差别，两个环的性质差这么多？一个成域是没指望了，一个天生就是域。大家应该早看出来了，7是素数，10是合数。是这样的，其实对于任何一个合数c，Zc里面都有两个不是[0]乘起来却是[0]的元素，于是没法成域。而对于任何一个素数p，Zp都天生是一个域，在里面加减乘除都可以。

有理数域，实数域，复数域这些域都有无限个元素，而Zp（p是素数）这样的域则里面只有p个元素，所以叫有限域。

那么到底有多少种有限域呢？这是个很重要的问题，叫做有限域的分类。

其实何止有限域，我们碰上一类东西，总喜欢给它们分分类，对原子们我们分出各种化学元素来，对力我们分出引力电磁力强力弱力来，对生物我们分出各界门纲目科属种来，就算政治上都要分出左中右来呢。分类问题无论在哪个学科里都是顶顶重要的问题之一。所谓分类，就是把各个个体按照一定的性质归类，同样性质的归一类，不同性质的归在另一类。考虑的性质不同，分类的方法也不同。比如对原子，我们如果只考虑原子核内质子的数目，那么分出来的类就是化学元素，同一种元素的各种同位素（核内质子数量相同但是中子数量不同）都给归成同一类了；但是如果还要考虑核内中子数量，那么各同位素会被归到不同类中去。中学里我们学过氢有三种同位素氕氘氚，化学性质都一样，对于化学家来说，把它们看作相同的也不离谱。但是它们的其他性质就差远了，氕也就是在太阳那个环境里能核聚变，地球上要搞核聚变，得氘氚才行，对于搞核聚变的工程师来说，把它们归一类就荒唐了。所以考虑的问题不同，分类方法也可能不一样。

有限域的分类是按什么方式分呢？当然是按照同构的性质来分类，也就是说，两个域算是同一类，当且仅当它们同构，也就是结构相同。比如2是素数，Z2是个域，它里面两个元素[0]和[1]，加法和乘法是这样的：

[0]+[0]=[0]，[0]+[1]=[1]，[1]+[0]=[1]，[1]+[1]=[0]

[0]*[0]=[0]，[0]*[1]=[0]，[1]*[0]=[0]，[1]*[1]=[1]

我现在定义另一个域，里面也有两个元素：”花“和”蛋“，它们也能做加法和乘法：

花+花=花，花+蛋=蛋，蛋+花=蛋，蛋+蛋=花

花*花=花，花*蛋=花，蛋*花=花，蛋*蛋=蛋

你说这”花+蛋“是有什么意义？啥意义也没有，也许是因为我要做蛋花汤想出来的呢，反正我这么定义了。但是稍微一观察，我们发现如果把”花“看作[0]，”蛋“看作[1]，它其实不就是Z2嘛：”蛋“”花“之间由加法和乘法定义出来的关系，和Z2中[0][1]之间由加法和乘法定义出来的关系是一样的。我们知道，结构就是这些关系形成的，于是蛋花域和Z2的结构是一样的：它们是同构的。代数学是研究代数结构的学问，它对结构是什么很关心；形成这些结构的元素具体是什么，是写成[0][1]还是蛋花，它并不太关心。所以有限域，或者是其他的代数结构，是以同构来分类的。两个代数结构如果同构，那么完全可以把它们看作是同一个东西。于是我们经常会在一些代数定理里看见”在同构的意义下唯一“这样的话。蛋花域和Z2当然不是同一个东西，一个里面是蛋花，一个里面是[0][1]（大家记得这其实是整数集合的两个子集，[0]里面元素被2整除，其实就是偶数集，[1]是奇数集），但是在同构的意义下，它们是同一个东西。

对每个素数p，我们都有Zp是一个域，其中有p个元素；不仅如此，代数学里可以证明，如果一个域里面有p个元素，那么它一定是和Zp同构的。换句话说，有p个元素的域，在同构的意义下是唯一的，就是Zp。

对某个合数c，是不是有恰好c个元素的有限域呢？对大部分合数都没有。只有形状如p^n的合数，其中n是个大于1的整数，存在在同构意义下唯一的一个域，其中元素恰好有p^n个。所以没有恰好有10个元素的域，但是有恰好比如说有2^2=4，7^2=49，3^4=81个元素的域。具体这些域是什么，比较复杂，这里就不说了。

于是上面两段叙述完整地解答了有限域的分类问题。

对于”同余“和本篇”有限域“，大家应该记住的，就是对于一个素数p，Zp是一个域，所以可以做加减乘除，里面的元素是什么，怎么做加减乘除，就够了。

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