主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰
家园 有同学指责我的故事不够严谨,甚至是误导观众 有同学指责我的故事不够严谨,甚至是误导观众,我不得不说明一下,这既非我的初衷,也不是我的过错,具体在这个帖子中: https://www.ccthere.com/article/4617373 有关心的朋友可以去看一下.
在那个帖子中我把故事改写得严密一些,因为我的帖子人气少,所以我也把这个新的版本复制在这里如下,供大家讨论.:
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今天听到一个例子,很适合说明怎么叫概率推断,或者概率推断会有多反直观.
比如新来了一家邻居,我知道该邻居家有两个孩子,但不知道任何关于这两个孩子的其他情况.
有一天我出门正看见新邻居正拿着全套的星战行头回家,突然意识到今天是5月4日,于是上前和邻居打招呼到:"May the force be with you!".邻居认出我来,显得颇有些尴尬,赶忙解释道"不不,这不是我的,是我给我儿子买的,他是个星战迷."
我心里默默推算,嗯,原来邻居有个儿子,那么邻居家另一个孩子也是男孩的概率为三分之一(对,这不是笔误,三分之一,不是二分之一).
家园 你仍在误导读者，但还是没做好 -- 有补充 你题目的新写法如下
比如新来了一家邻居,我知道该邻居家有两个孩子,但不知道任何关于这两个孩子的其他情况.有一天我出门正看见新邻居正拿着全套的星战行头回家,突然意识到今天是5月4日,于是上前和邻居打招呼到:"May the force be with you!".邻居认出我来,显得颇有些尴尬,赶忙解释道"不不,这不是我的,是我给我儿子买的,他是个星战迷."
我心里默默推算,嗯,原来邻居有个儿子,那么邻居家另一个孩子也是男孩的概率为三分之一(对,这不是笔误,三分之一,不是二分之一).
首先，这个新说法换汤不换药，上个帖子的分析仍然适用。排列组合如下表：
星战行头 没有星战行头 大哥（B1） 二哥（B2） 二哥（B2） 大哥（B1） 大哥（B1） 二姐（G2） 二哥（B2） 大姐（G1） 另一个孩子也是男孩的概率还是二分之一。
第二，你原题的话术在于
邻居家另一个孩子也是男孩的概率为三分之一这里的“另一个”绝大多数母语是汉语的人都会理解为另一个孩子性别的单独概率。但你其实问的是“有两个孩子，已知一个孩子的性别，两个孩子同性别的概率是多少？”
这里“另一个”的意思模棱两可。你实际上设了个语言陷阱，混淆了单独概率和合成概率。可惜设的不好，即使是用了有歧义的表述方式，如我前面演示的，两个孩子都是男孩的可能性仍可能是二分之一。
在你这个2.0版本里，你说
邻居认出我来,显得颇有些尴尬,赶忙解释道"不不,这不是我的,是我给我儿子买的,他是个星战迷."你在这里故意用了单数。根据汉语习惯，绝大多数人会把这句话理解为邻居只有一个儿子，并且儿子是个星战迷。虽然汉语对于单复数不像英语那么死扣，但如果有超过一个以上的儿子，邻居要么说“是我给我大（或其他排行）儿子买的,他是个星战迷.” 要么说“是我给儿子们买的,他们是星战迷”
这个话术只在汉语里有用。如果用英语就不行了。这句话用英语来说就是
“I bought it for my son, he is a star wars fan.” 这里清楚表明只有一个儿子。
所以，这题看似绕弯，其实是表达不清所致。
作者 对本帖的 补充(1)家园 唐家山同学提了个更简明的模式 -- 补充帖 唐家山同学提了个更简明的模式
“先看到了一个男孩”这句话说完整了之后，就是"每次看到一个男孩后，问第二个孩子也是男孩的概率"。这句话等价于“如果第一次看到一个女孩，就当做没看见。只有第一次看到的是男孩时，我们才开始考虑第二个孩子是否也是男孩的概率”。原题是说你碰到邻居带了个男孩出来，邻居共有两个小孩，另一个没看见的小孩的性别未知。
那么很显然，组合只可能是 男男，或是 男女。不存在女女，或女男的情况（因为你没看到女孩，只看到一个男孩）。那么另一个孩子是男孩的几率不就是二分之一吗？
搞定收工。
见前补充 4617558
家园 换种解释方式，不知怎么被埋到楼下了，不好意思，重贴一次 楼下老兄提到的几种等价命题并不等价，为了清晰起见，请让我先把原命题在重复一下：已知某同事有两个小孩，男女未知，你偶然碰到他带着一个小男孩，试问他另外一个小孩也是男孩的概率多大？
这里最绕人的地方在于，“碰到一个男孩”和“再生一个男孩”不同，前者和两个已经生好的孩子都有关系，并不是一个重新生一个的独立事件。这里语义上的误导之处在于，两个孩子都已经生好了，所谓“另一个小孩”，并不是再生一个，而是再碰到一个的意思。两个孩子都已经是既定事实了，遇到其中一个是男孩也是既成事实，问的其实是“你”再遇到男孩的概率多少，而不是“他”再生男孩的问题。此处迷惑人的是生男生女都一样的心理定势，诱导人把“遇“的问题看成“生”的问题，于是直接认定了1/2的答案。
因此，一种等价的描述方案是：盲盒中的黑白球。假设有100个白球和100个黑球，随机封装到100个盲盒里，每盒两个。不失一般性，不妨认为随机到了最均匀的结果，我们得到25个装了两个黑球的盒子，25个两亮白球，50个一黑一白。问题变成：拿一个盒子并且取出一个球，发现是黑的，问剩下的那个球也是黑的概率多少？
孩子的情况和盲盒相同，男女是既定的，正如盒子里的黑白球也是既定的，你拿的是盒子，看见的是黑球。这种情况不同于把所有黑白球放在一个大袋子里抽取，也不是先拿一个球再拿另一个。再强调一下，黑白球是已经装定了的，正如男女已经是生好了的。你想知道的是，在已经见到一个黑球的情况下，又在同一个盒子里看见第二个的概率。这就是所谓条件概率问题，条件就是见到一个黑球（男孩），以此为前提的概率问题，不是抛两个硬币或者生两个孩子的问题。
甚至可以再说极端一点，索性拿掉黑球白球（生男生女）的随机性，就直接告诉你，100个盲盒是安排好的，25个两黑，25个两白，50个一黑一白，没有任何随机因素。同事的孩子也是同理。假想你有100个同事，每人两个孩子，当你遇到他的时候，孩子已经确定了，和盲盒的情况相同，25个同事两男、25个两女、50个一男一女，这是既定事实，所谓生男生女的概率到此为止已经结束了，和你遇到男女完全是两个问题。生孩子的概率，是所谓先验概率，生完就结束了，男女就确定了，这个概率和接下来的事情无关了，可以抛之脑后了。100个同事的男孩女孩，那怕就是个个都是自己选性别的，你遇到男孩的概率也只和这个现状有关，即25%两男、50%男女、25%两女这么一种状态，和它是怎么生成的无关，生男生女的概率就不用再考虑了，这个所谓概率实在是误导人的。
好了，现在100个盲盒（同事），你在其中一个里发现了黑球（男孩），这个前提条件究竟是什么意思呢？它意味着你拿到的盒子（碰到的同事）是75个中的一个，而不是全部100种可能，你的样本空间容量从100变成了75，两个白球（两个女孩）的情况被从样本空间中排除了。概率问题的核心是样本空间，所谓概率，就是特定情况在全体样本中所占的比例。“看到黑球（男孩）”的作用是改变样本空间，从而也影响了你下一次事件的概率，所谓你看到下一个球，等价于你在这75个盒子里再次做出选择，25个两黑和50个黑白，并且预先拿掉其中的一个黑球，于是再次发现黑球的概率自然就是1/3了。
最后再强调一次，整件事情可以认为和生男生女的概率无关，只和男女的实际比例状况有关。生男生女的概率，如果说有意义的话，在于形成了男女均衡的状态，三种情况25%-50%-25%，这成为接下来遇男遇女（没有生男生女了）的概率计算的出发点，遇到的男女并非当场生下的，而是事先生好的，所以生男生女的概率到处可以功成身退了。接下来的问题是，本来你不知道自己会遇到这三种里的哪一个，“首见男孩”的概率当然是1/2。但“首见男孩”作为既成事实把情况缩到两种，“又见男孩”的概率需要在这个新条件形成的新的样本空间中重新计算。这大约就是所有争论和歧义的根源所在了。
如果把另外一半“首见女孩”的概率也算一算，也许这个1/3看起来也就不那么令人难于接受了。 “首见女孩”的发生概率无疑是1/2，类似的推理可知，在这个前提下，“又见男孩”的概率是2/3。两者合成，1/2×1/3 + 1/2×2/3，“又见男孩”的总概率仍然是1/2，并没有什么违反常规的地方，不是么。
通宝推：审度,家园 是呀，这就是高中排列组合及概率论的问题。 我觉得diamond老兄已经解释得很清楚了，怎么还会有歧义呢？
