主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

你看那个图上，瓶脖子一拐弯钻进了瓶身，再和瓶底合在一起，瓶颈似乎和瓶身相交。其实克莱因瓶的瓶颈和瓶身是不相交的，只是为了在三维空间中展示它，才有这种“相交”的错觉，就好像下面这个正方体的图

线段A1A2和A3A7实际是空间上不相交的两条线段，但画在纸上就不得不画成相交的。克莱因瓶必须放在四维的欧氏空间中看，才会看到它的瓶颈和瓶身不相交。但是我们都没法直接地想象四维欧氏空间不是？（但可以间接想象，考虑一系列的三维“切片”）

看起来象我贴的那个图，那么当然是可以做出来的，不过不能用普通的吹瓶子的方法，因为瓶子面是有向的，于是有里面外面，可以吹出来，克莱因瓶是无向的，吹不出来，因为是漏气的。但是可以用其他工艺来做，网上还有卖的。

克莱因瓶其实是两条莫比乌斯带粘在一起。每条莫比乌斯带都只有一条边，把两条莫比乌斯带沿着这条边粘起来就可以了。在三维空间中做这个工作时，你会发现最后没法粘，不得不把莫比乌斯带撕开一点，这就是那个相交的地方。

我怎么也想象不出如何在第四维不相交。手画示意一下就行

谢谢！

切片是给数学家看的，更不直观。克莱因瓶算是比较容易看懂的。

在我的脑子里想象四维的克莱因瓶的方法大约是下面这样的。

电影中常常有“叠映”的表现方式。比如说主人公回想起他和情人的往事，画面上年老的主人公的脸和年轻时的他和情人在一起拥抱接吻叠在一起出现，但是观众绝不会以为有两个小型人类正在一个大型人类的脸上拥抱接吻。虽然观众在银幕上同时看见这两个画面叠在一起，他们知道这两个画面发生在不同的时空中，只是因为艺术表现手法使得这两个图形同时出现在一个二维的平面上。

克莱因瓶的“交接处”也应同样看待。瓶颈事实上并没有穿过瓶身，就好像电影主人公并不是在自己的脸上和情人拥抱接吻。在那个看起来交接的地方，瓶颈和瓶身其实处在不同的四维空间的位置上，只是因为我们生活在三维空间中，不得不把它们表现在同一个三维的位置上；就如同在银幕上，处在不同时空的主人公处在同一个二维空间的位置上。我在想象克莱因瓶的时候，瓶颈和瓶身“相交”处看起来就如同电影的叠映效果。

不知道这样解释是否清楚了一些。

环里有两个运算，一个是加法一个是乘法。单独看加法的话，那就是一个群。

不知道你熟悉吗?

这是只有在代数数论中才讨论的东西，我也就是知道一个定义，具体到用处和意义就不知道了。但是其中与之相关的有一个问题，是我从小就着迷的东西，也就是2，3，5，11，17，41这几个数。这些是和所谓的Heegner数有关的东西，那时候我不知道其实在十几年前，就有数学家彻底解决了这个问题。

事实上Heegner的文章里恰恰有错，Harold Stark在69年才改过来。

这很正常。在这个科学职业化的时代民科就是业余科学家的意思。