主题：【原创】【讨论】趣味数学 之 三门问题 -- 孟词宗
为了方便讨论，老玩家选择的门标识为A，主持人打开的门标识为C，剩下一扇门为B。大家都同意老玩家保持A的中奖几率是1/3，换B的中奖概率是2/3。
新玩家上来，如果他选择A，中奖的概率是多少？如果他选择B, 中奖的概率又是多少？
楼主的附加题问的是新玩家中奖概率是多少，答案是1/2。这是基于以下假设: 新玩家之前没有参与游戏，不知道A和B的区别，只能在A(1/3)和B(2/3)中随机选取，所以中奖的概率只有1/2. 如果这位新玩家发挥做题家的绝技，一律选A，或一律选B，1/2的中奖率就不成立了。
概率是不确定性的度量，观测者的行为如果不干涉系统的不确定性，概率分布不会变化。说主观性是似是而非了。
概率A和B对他的概率都是1/2。
考试的时候，如果题目的分布是均匀的且题目足够多，那么一律选A/B/C/D最终的得分都是（几乎）一样的。
我之前说过，”有主观性“不代表”每个主观概率都是正确的“，还要看”假设和推理“是否合理。不知道你究竟是觉得假设不合理还是推理不合理。
看守的回答，形式上B/C对A是对称的，答B或答/C都不影响A的不确定性。 所以A是空欢喜。
不妨看下3门问题的第三种玩法。
是咱们对概率的理解很清晰的分野，可以再思考下。 知道分歧在什么地方就容易收敛，最怕是各说各的。
我之前一直在说的，我们都是在古典概型下讨论。因此
1. 不管是老玩家的1/3还是新玩家的1/2都是在不充分推理原则下做的假设，不需要论证。
2. 主持人去掉一扇门之后最后一个门的概率变成2/3是根据推理得到的。
不知道你对以上这个有没有异义？
不充分推理原则，我的理解就是平均分布的不确定性最大。
如果不是平均分布呢，说明系统内的元素可被区分，不确定性减弱。
主持人是在B/C中2选一，打开一扇有羊的门。所以A的不确定性不变，中奖概率还是1/3，子系统(BC)的不确定性减弱，C的1/3中奖概率转移到B上达成2/3.
这里你可以看下第三者玩法，如果主持人不知道门后的情况，选择C， 打开C发现门里是一只羊。这个过程中不确定性在哪一步操作发生变化，概率如何发生转移。
尽管他是被动的。
第一种情况没问题，虽然解法有点绕。
第二种情况列出的公式描述的不是主持人在B/C中选取一扇有羊的门打开，而是主持人打开B发现里面是羊，我第一个回帖补充的第三种玩法。
第二种情况，新玩家选A，中奖概率是1/3; 换C，中奖概率是2/3。当然我们的假设是新玩家不知道A和C中奖概率有差别，会随机选择A或C，中奖概率是1/2。
如果用P(A)，P(B)，P(C)来代表A，B，C三人分别被赦免的概率（也就你说的不确定性），那么对三个囚犯来说，P(A)=P(B)=P(C)=1/3，这是一开始就定好的，也不会变。不论看守回答什么甚至不回答都不会变。（如果变了相当于假设变了，那基于假设的所有推导也就没有了意义。）
那么看守回答后有什么不同呢，其实就是可以求条件概率了。令看守的回答为H，那么现在就有P(A|H)，P(B|H)，P(C|H)，这三个就是不同的了。A的错误就在于认为有了H，P(A)就变成了1/2，这个是不对的。P(A)还是1/3，不会变，他只能求P(A|H)，然而不幸的是P(A|H)=P(A)=1/3（证明略，上面的链接有）。然而对C就不同了，因为A，B，C互斥，P(C|H)=P(A\/B\/C|H)-P(A|H)-P(B|H)=1-1/3-0=2/3。所以”在看守回答后“这个条件下”C被赦免“的概率提高了。
三门问题的解法其实是一样的。所以说这两个问题本质上是一样的。
第三种玩法其实和主持人怎么选的没关系，关键是玩家知不知道这个信息。如果不知道，那什么都不会变。
老玩家选择是否换门和通常所说的二选一其实不是一回事，用数学的语言说，假设剩下的两个门是A和B，那新玩家二选一是指P(A)=P(B)=1/2。而老玩家已经没有这个机会了，他在之前已经选择P(A)=P(B)=P(C)=1/3，这个概率也不会变。他在第二步里选换还是不换其实是在P(A|H)和P(B|H)里选，H就是主持人在C里拿出一只山羊这个事件。所以严格来说不是”二选一“，对他来说，因为H的存在，单纯的A，B已经不可能再让他选了。除非像洗牌那样，把他眼睛蒙上，然后对调A，B若干次，强行把H这个条件去掉，这样他就和新玩家一样了，可以”二选一“。
不充分推理原则，其实就是不完全归纳，由归纳者掌握的信息多少决定，通常”未知的概率都是等概率”，也就是不知道事件集中每个事件的概率为多少的情况下就“假定”为相等。所以#1就是主观的，由看到的人掌握的知识决定：主持人知道的最多，所以可以确切地给每个门一个确定的概率，玩家则不行。
你所说的没主观性什么事，指的是#2，这个当然和主观性没什么关系。
分歧就在于你觉得#1里等概率是客观的，和人无关的。我觉得这个是主观的，和观察者掌握的知识相联系的，只有在等知识的情况下概率才是相等的（其实这里更严重的是没办法假定不同的初始概率，也就是对这种情况无解，比如不均匀的硬币，不一样的门等）。
上面关于分歧这点你同意吧。哎，不管同不同意，就这样吧，都说到这地步了，已经没有继续讨论的必要了。
正是独立事件使得概率成为一门独立的学科，但“所以他选择哪一个和ABC门后的真实分布是独立事件”这种说法是有问题的。“事件”在概率里是有严格定义的，是指“试验”的结果以及结果的组合（注意，“试验”也是有严格定义的，且不是生活中理解的“试验”）。这里“真实分布”明显不是个“事件”。
很多人都是在一本书里学的，所以经常把两者搞混。
#1：当我们说某个概率是1/2， 1/3， 2/3 的时候，基于的是假设、定义和推理，这个是概率论的内容。概率里面的“试验”是有严格定义的，是一种思维试验，而不是真的试验；同理“事件”也不是真的发生的事件，而是“试验”的结果或者结果的组合。就拿“抛一枚均匀硬币正反面的概率各为1/2”句话来说，它包括：
1. 试验：抛一枚均匀硬币。且这个试验可重复。
2. 试验（可能的）结果：正面、反面。
3. 假设：根据不充分推理原则，“试验的结果”出现的概率相等，各为1/2。
4. 在这个基础上，运用概率的性质，可以得出一系列的结论，比如上面的2/3。
以上都是在数学的领域，可以认为是纯思辨的。
#2 统计研究的是样本的规律，以及用样本来推测总体的性质。这时候才会设计到真实的“试验”，但这时侯经常要加上“样本”二字，比如样本空间，样本事件等。这时侯通常的任务是对前面的假设进行检验。比如一枚“硬币投了8000次，正面为5000次”这样一个样本，推测前面硬币两面各为1/2也就是均匀是否”正确“。但这里”正确“是有也不是通常意义上的意思，更严格的说法是”接受/不接受“。也就是说”假设“无所谓正确不正确，只有接受/不接受这个”假设“。
这里还有一点就是概率里的试验是理想试验，实际试验理论上是不可能重复出来的，比如你用的硬币不能代表所有的硬币，即使某个结果表明不能接受假设，也不能说明假设是错误的，只是不适用于这个硬币而已，其他的硬币可能还是很好地符合这个假设。实际试验越接近理想试验，越能说明”假设“在普遍意义是否”正确“。而古典概型的原理恰恰是经过很多检验证明在很多情况下是基本”正确“的，包括扔硬币，也就是说根据原理得到的”均匀硬币两面概率各1/2“是基本”正确“的，真是实验出了问题只能是这个硬币本身出了问题。不符合”均匀“这个条件，所以不能再用古典概型。
可不可以这么总结一下：
A做了错误的假设，所以推论自然是错的，所谓Garbage in Garbage out.
C所得到的信息并非随机的，当看守说B背叛死刑，A或者B至少有一个会死，因此他得到赦免的机会上升了。
这个问题应该还是跟两个男孩的类似，收到一个信息后，重新判断哪两个人会被判死刑的概率。
我之前还是没想透啊。。。。
本题可以结束了！