五千年(敝帚自珍)

主题:【原创】【讨论】趣味数学 之 三门问题 -- 孟词宗

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家园 你的主观性把自己绕进去了

为了方便讨论,老玩家选择的门标识为A,主持人打开的门标识为C,剩下一扇门为B。大家都同意老玩家保持A的中奖几率是1/3,换B的中奖概率是2/3。

新玩家上来,如果他选择A,中奖的概率是多少?如果他选择B, 中奖的概率又是多少?

楼主的附加题问的是新玩家中奖概率是多少,答案是1/2。这是基于以下假设: 新玩家之前没有参与游戏,不知道A和B的区别,只能在A(1/3)和B(2/3)中随机选取,所以中奖的概率只有1/2. 如果这位新玩家发挥做题家的绝技,一律选A,或一律选B,1/2的中奖率就不成立了。

概率是不确定性的度量,观测者的行为如果不干涉系统的不确定性,概率分布不会变化。说主观性是似是而非了。

家园 即使”一律选A,或一律选B“也是1/2

概率A和B对他的概率都是1/2。

考试的时候,如果题目的分布是均匀的且题目足够多,那么一律选A/B/C/D最终的得分都是(几乎)一样的。

我之前说过,”有主观性“不代表”每个主观概率都是正确的“,还要看”假设和推理“是否合理。不知道你究竟是觉得假设不合理还是推理不合理。

家园 概率是不确定性的度量

看守的回答,形式上B/C对A是对称的,答B或答/C都不影响A的不确定性。 所以A是空欢喜。

不妨看下3门问题的第三种玩法。

家园 这个回答很明确

是咱们对概率的理解很清晰的分野,可以再思考下。 知道分歧在什么地方就容易收敛,最怕是各说各的。

家园 那就好说了

我之前一直在说的,我们都是在古典概型下讨论。因此

1. 不管是老玩家的1/3还是新玩家的1/2都是在不充分推理原则下做的假设,不需要论证。

2. 主持人去掉一扇门之后最后一个门的概率变成2/3是根据推理得到的。

不知道你对以上这个有没有异义?

家园 这两点我没有疑问

不充分推理原则,我的理解就是平均分布的不确定性最大。

如果不是平均分布呢,说明系统内的元素可被区分,不确定性减弱。

主持人是在B/C中2选一,打开一扇有羊的门。所以A的不确定性不变,中奖概率还是1/3,子系统(BC)的不确定性减弱,C的1/3中奖概率转移到B上达成2/3.

这里你可以看下第三者玩法,如果主持人不知道门后的情况,选择C, 打开C发现门里是一只羊。这个过程中不确定性在哪一步操作发生变化,概率如何发生转移。

通宝推:陈王奋起,
家园 因为第一个人作弊了

尽管他是被动的。

家园 第二种情况错了

第一种情况没问题,虽然解法有点绕。

第二种情况列出的公式描述的不是主持人在B/C中选取一扇有羊的门打开,而是主持人打开B发现里面是羊,我第一个回帖补充的第三种玩法。

第二种情况,新玩家选A,中奖概率是1/3; 换C,中奖概率是2/3。当然我们的假设是新玩家不知道A和C中奖概率有差别,会随机选择A或C,中奖概率是1/2。

通宝推:陈王奋起,
家园 是这样的

如果用P(A),P(B),P(C)来代表A,B,C三人分别被赦免的概率(也就你说的不确定性),那么对三个囚犯来说,P(A)=P(B)=P(C)=1/3,这是一开始就定好的,也不会变。不论看守回答什么甚至不回答都不会变。(如果变了相当于假设变了,那基于假设的所有推导也就没有了意义。)

那么看守回答后有什么不同呢,其实就是可以求条件概率了。令看守的回答为H,那么现在就有P(A|H),P(B|H),P(C|H),这三个就是不同的了。A的错误就在于认为有了H,P(A)就变成了1/2,这个是不对的。P(A)还是1/3,不会变,他只能求P(A|H),然而不幸的是P(A|H)=P(A)=1/3(证明略,上面的链接有)。然而对C就不同了,因为A,B,C互斥,P(C|H)=P(A\/B\/C|H)-P(A|H)-P(B|H)=1-1/3-0=2/3。所以”在看守回答后“这个条件下”C被赦免“的概率提高了。

三门问题的解法其实是一样的。所以说这两个问题本质上是一样的。

第三种玩法其实和主持人怎么选的没关系,关键是玩家知不知道这个信息。如果不知道,那什么都不会变。

家园 老玩家其实不是二选一

老玩家选择是否换门和通常所说的二选一其实不是一回事,用数学的语言说,假设剩下的两个门是A和B,那新玩家二选一是指P(A)=P(B)=1/2。而老玩家已经没有这个机会了,他在之前已经选择P(A)=P(B)=P(C)=1/3,这个概率也不会变。他在第二步里选换还是不换其实是在P(A|H)和P(B|H)里选,H就是主持人在C里拿出一只山羊这个事件。所以严格来说不是”二选一“,对他来说,因为H的存在,单纯的A,B已经不可能再让他选了。除非像洗牌那样,把他眼睛蒙上,然后对调A,B若干次,强行把H这个条件去掉,这样他就和新玩家一样了,可以”二选一“。

家园 那不就结了

不充分推理原则,其实就是不完全归纳,由归纳者掌握的信息多少决定,通常”未知的概率都是等概率”,也就是不知道事件集中每个事件的概率为多少的情况下就“假定”为相等。所以#1就是主观的,由看到的人掌握的知识决定:主持人知道的最多,所以可以确切地给每个门一个确定的概率,玩家则不行。

你所说的没主观性什么事,指的是#2,这个当然和主观性没什么关系。

分歧就在于你觉得#1里等概率是客观的,和人无关的。我觉得这个是主观的,和观察者掌握的知识相联系的,只有在等知识的情况下概率才是相等的(其实这里更严重的是没办法假定不同的初始概率,也就是对这种情况无解,比如不均匀的硬币,不一样的门等)。

上面关于分歧这点你同意吧。哎,不管同不同意,就这样吧,都说到这地步了,已经没有继续讨论的必要了。

家园 独立事件确实很重要

正是独立事件使得概率成为一门独立的学科,但“所以他选择哪一个和ABC门后的真实分布是独立事件”这种说法是有问题的。“事件”在概率里是有严格定义的,是指“试验”的结果以及结果的组合(注意,“试验”也是有严格定义的,且不是生活中理解的“试验”)。这里“真实分布”明显不是个“事件”。

家园 所以说概率是概率,统计是统计

很多人都是在一本书里学的,所以经常把两者搞混。

#1:当我们说某个概率是1/2, 1/3, 2/3 的时候,基于的是假设、定义和推理,这个是概率论的内容。概率里面的“试验”是有严格定义的,是一种思维试验,而不是真的试验;同理“事件”也不是真的发生的事件,而是“试验”的结果或者结果的组合。就拿“抛一枚均匀硬币正反面的概率各为1/2”句话来说,它包括:

1. 试验:抛一枚均匀硬币。且这个试验可重复。

2. 试验(可能的)结果:正面、反面。

3. 假设:根据不充分推理原则,“试验的结果”出现的概率相等,各为1/2。

4. 在这个基础上,运用概率的性质,可以得出一系列的结论,比如上面的2/3。

以上都是在数学的领域,可以认为是纯思辨的。

#2 统计研究的是样本的规律,以及用样本来推测总体的性质。这时候才会设计到真实的“试验”,但这时侯经常要加上“样本”二字,比如样本空间,样本事件等。这时侯通常的任务是对前面的假设进行检验。比如一枚“硬币投了8000次,正面为5000次”这样一个样本,推测前面硬币两面各为1/2也就是均匀是否”正确“。但这里”正确“是有也不是通常意义上的意思,更严格的说法是”接受/不接受“。也就是说”假设“无所谓正确不正确,只有接受/不接受这个”假设“。

这里还有一点就是概率里的试验是理想试验,实际试验理论上是不可能重复出来的,比如你用的硬币不能代表所有的硬币,即使某个结果表明不能接受假设,也不能说明假设是错误的,只是不适用于这个硬币而已,其他的硬币可能还是很好地符合这个假设。实际试验越接近理想试验,越能说明”假设“在普遍意义是否”正确“。而古典概型的原理恰恰是经过很多检验证明在很多情况下是基本”正确“的,包括扔硬币,也就是说根据原理得到的”均匀硬币两面概率各1/2“是基本”正确“的,真是实验出了问题只能是这个硬币本身出了问题。不符合”均匀“这个条件,所以不能再用古典概型。

关键词(Tags): #2
家园 请教一下三囚问题

可不可以这么总结一下:

A做了错误的假设,所以推论自然是错的,所谓Garbage in Garbage out.

C所得到的信息并非随机的,当看守说B背叛死刑,A或者B至少有一个会死,因此他得到赦免的机会上升了。

这个问题应该还是跟两个男孩的类似,收到一个信息后,重新判断哪两个人会被判死刑的概率。

我之前还是没想透啊。。。。

家园 这个回复解释了三门问题概率变化的根本

本题可以结束了!

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