主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经

以下的数值例子和最优下注策略抄自Patrick Billingsley的Probability and Measure

（以下的轮盘赌假设只允许押红或押黑。获胜的概率是18/38=0.474<0.5）

如果a=900，c=1000。公平赌博(p=0.5)。赌客的目标是增加100块钱。根据前面的公式，他成功的概率是90%。

如果是轮盘赌，成功的概率降为0.00003。

a=100，c=20000。公平赌博的话，赌客成功的概率是0.005。

如果是轮盘赌，成功的概率骤降为3*10^(-911)。这个数和零没有什么区别。

这个例子表明p从0.5稍微降低就会导致成功概率发生急剧的变化。

以上我们假设赌客每次只能赌1块钱。但是改变下注的数额可以改变成功的概率。为方便起见假设a和c都是偶数。如果赌客改为每次下注2块钱，当p<0.5时，成功的概率变为：

P==(r^(a/2)-1)/(r^(c/2)-1)

很容易可以证明成功的概率变大。一个很自然的问题就是什么是最优下注策略呢？

我们用W来代表每次下注的金额，当p<0.5时，最优下注策略是：

W=a，如果a<c/2

W=c-a，如果a>c/2

这个结果叫作Durbins-Savage定理。证明可以查看Billingsley的书。英语里这种下注策略被称为Bold Play。就是争取用尽可能少的轮数达到目标。当初始资金比较少时就将所有的资金都押上。当初始资金超过目标的二分之一时，改为押手中资金和目标的差别。

回到前面的例子。p=0.5时，下注策略不会影响成功的概率。但轮盘赌时，a=900，c=1000，使用Bold Play可以将成功概率提高到0.88。a=100，c=20000，使用Bold Play可以将成功概率提高到0.003。

Bold Play是最优策略的道理在于，每次下注的金额越小，需要的轮数就越多，Law of Large Numbers就越起作用。由于p<0.5，每次下注的预期收益m是负数。当每次下注金额趋近于0，平均收益以1的概率趋近于m<0。这也就意味着赌客输光的概率趋近于1。

尽管存在最优下注策略，但p<0.5时，使用最优下注策略的预期收益仍然是负数。因此研究概率论的人没有去赌场的。

五。压单还是压双？

如果是随机地扔一个骰子，相信所有的人都会同意，出现单与双的概率是一样

的。但实际的赌博业务往往赌的是足球比赛的进球数是单还是双，或者篮球比

赛的比分和是单还是双。

例如香港赛马会每周都对很多足球比赛开出单双的赔率，一般是（1.9，1.8）

或者（1.85，1.85）这两种赔率组合，从来不会出现（1.85，1.9）这种赔率

组合。这个赔率的意思是你押100元1.9赔率中了就收获190元。我们很容易知

道赛马会给出这种赔率组合是稳赚的，公平的赔率组合是（2，2）。但为什么

马会给“单”设的赔率总是大于或者等于“双”的赔率？一种可能是赛马会的

人就喜欢这么干，没什么特别的考虑。但是不是有什么数学因素在里面？

再例如中国篮球彩票，让人猜四节比赛的比分和的单双，共16总可能，四节全

中了，就赢了。那么，是不是16种选择是等概率的？会不会和扔骰子有微小的

不同？这里不考虑打假球的因素。

我们先来考虑足球。足球比赛一开始的比分就是0比0，天然是个双数。足球比

赛进球不象篮球那么容易，会不会双数比单数有一点优势？这我们要建立模型

分析一下了。

假设A队和B队打，两队都以防守稳著称，象切尔西连续6场没丢球，AC米兰也

曾经连续多场没丢球。那么这种情况下，0:0这个比分是会不会占优势？例如

切尔西对阵AC米兰，打一百场，多方的进球总数可能是各40个。如果我们准备

100个框子，把80个球往里面随机地扔，可以一个框子占多球，那么每场比赛

的单双概率会是如何？当然这未必与实际比赛的进球分布相同，只是先这么

看看结果如何。

也就是说，来一个简单数学模型，有m场比赛，总进球数是n个，每个进球等概

率地发生在这m场比赛中的任一场。求单场比赛总进球数是单双的概率大小，

分别记为D(m,n)与S(m,n)。

我们可以确信的是，如果n=0，那么D(m,0)=0，S(m,0)=1，每场比赛都是双。

如果n=1，那么只有一场比赛为单，m-1场为双，D(m,1)=1/m。如果n=2，计算

就要复杂些了，如果是两场1:0，则单的概率为2/m，如果是一场1:1，则单的

概率为0。两个进球出现在一场比赛的机会是1/m。所以，单的概率是：

2/m * (m-1)/m = 2(m-1)/m^2。

建立一个递推公式：(m,n+1)的情况相当于(m,n)的情况再多来一个球。

(m,n)的情况中，D(m,n)*m场是单数，S(m,n)*m场是双数。这个球来到单数场

的机会是D(m,n)。到了单数场中，则单数场加一双数场减一，即单数场变为

D(m,n)*m - 1。另一种情况是以(1-D(m,n))的机会到了双数场，则单数场变

为D(m,n)*m+1。我们可以据此得到：

D(m,n+1) = D(m,n) * ( D(m,n) * m - 1 ) / m + (1 - D(m,n)) * ( D(m,n) * m + 1)/m

= (1 - 2 * d(m,n))/m + d(m,n)

验算n=0与1的情况都是正确的。

那么我们可以考察D(m,n)随着n的变化情况。让我们重新整理一下：

D(m,0) = 0,

D(m,n+1) = ( 1 - 2 * d(m,n) ) / m + d(m,n)

这种情况想快速得到一些值不要去死推公式，拿个Excel整几个格子很快就出

结果了。

下表是m(10,n)的情况，n从0增长到25.

n m(10, n)

0 0

1 0.1

2 0.18

3 0.244

4 0.2952

5 0.33616

6 0.368928

7 0.3951424

8 0.41611392

9 0.432891136

10 0.446312909

11 0.457050327

12 0.465640262

13 0.472512209

14 0.478009767

15 0.482407814

16 0.485926251

17 0.488741001

18 0.490992801

19 0.492794241

20 0.494235392

21 0.495388314

22 0.496310651

23 0.497048521

24 0.497638817

25 0.498111053

我们可以确信，m(10,n)是无限逼近0.5的，但总是小于0.5。

我们不难看到，单数的确是不如双数机会大的。即使进球数

多到篮球，也是双数占优。所以篮球彩票该填全双。

和足球不同，篮球进一球是2分，当然也有罚蓝为1分和3分球，但一场比赛的绝大多数是2分球，而且由于双方都有罚蓝和3分，所以得分总和是双数可能性要比是单数的可能性大。

第一次到赌城，我就坐下来把所有机率算出来，发现

掷骰子的机率是0．493之类。如果我赌一块钱，实际上我

只要花1．4毛钱。于是我跟自己说：“为什么这么不想赌

呢？花不了多少钱的！”

　　我开始下注——一下子我就连续输了5元——就那么1

元、2元、3、4、5元。理论上我应该才输掉7分钱， 但我

已输了5元了！从此我也没再赌过钱了 （就是说，如果要

用我自己钱的话）。我真幸运，一开始就输钱。

　　还有一次，我在跟一位表演女郎吃午餐。那是个安静

的下午，没有平常的嘈杂，她说：“看那边那个人，在草

地上走的那个？他是‘希腊历克’，是个职业赌徒。”

　　我很清楚在赌城赢钱的机率有多大，便说：“他怎么

可能靠赌维生？”

　　“我叫他过来。”

　　历克过来，她介绍我们认识。“玛丽琳说你是个职业

赌徒。”

　　“没错。”

　　“我很想知道你怎么可能靠赌博维生，因为像骰子之

类的机率才0．493。”

　　“你说的对，”他说：“让我解释给你听。我不赌骰

子或什么的。我只赌那些对我有利的。”

　　“喝！它们什么时候对你有利过？”我不相信地问。

　　“其实这也很容易，”他说。“我就在赌桌旁闲逛，

如果有人说：‘9点！一定是9点！’那人兴奋极了，他认

定这是9点，而且正想下注。我早已计算出所有机率， 于

是我说：‘我跟你赌4元对你3元，这不是9点！’ 长期来

说我会赢。我不直接下注在骰子上，但我跟其他赌客赌—

—他们都有偏见，迷信一些幸运数字。”

　　历克继续：“现在我已声名在外，就更好办了，因为

很多人会来跟我赌。就算他们知道机会不怎么大，但只为

了如果真的赢了希腊历克，就可以四处告诉别人。我是真

的靠赌博维生，这种生活也好极了！”

　　希腊历克确是个很有学问的角色，他人很好。我谢谢

他教了我这么多，现在我全都明白了。知道吗？我总喜欢

弄明白这个世界到底是怎么一回事！

那如果我们两个人赌,就赌猜硬币正反面,正面你赢,反面我赢.这样一来,我们的输或赢的概率都是50%.要是一直赌下去,谁输光啊?

两个人扔两个色子赌博的时候，无论如何达不到这个量级，所以你的概论理论不成立，如果你要准确表达的话，你应该改称可能性。

同样，由于50%的概率存在于大量重复的活动中，所以在只有极少数的赌博活动中，可能性依然很少等于50%。

这是我在新兵营的帖子。

如果赌客A的赌本是B的N倍，那么在公平赌博的条件下A赢的几率是B的N倍。

简单的例子，A有2元，B有1元，限注1元。

假定A有2元，B有1元时A赢的几率是a,B赢的几率是1-a

第1局，A,B赢的几率是相同，1/2.

A赢，赌局结束，B没有钱了。A赢的机会是0.5.

如果B赢，机会是0.5,需要看第2局。

第2局以及以后比赛

现在形势倒转。B赢的几率是a,A赢的几率是1-a

综合起来，可以有 a = 0.5 + 0.5*(1-a),所以a = 2/3.

所以A赢的几率（2/3）是B赢(1/3)的2倍.

外推到N很大的情况也是一样的。

就是说对手赌本无穷而你自己有限，所以你最后输。

如果你也无限，赌下去好了。

如果赌场的赌博是公平的。

0-36是37个数字，押中一个数字1赔37才是公平交易，现在赌场1赔36，赌徒们当然久赌必输。

同样，押大小，单双，红黑的成功概率因为这个零都是18/37，而不是18/36=1/2。