主题：【提问】从音色想到图象压缩 -- 东方射日

傅立叶级数是用来对付（空间）周期性函数的，一幅图只在有限范围内有意义，因此如果要得到它对应的傅立叶级数就必须先把图延拓到整个空间/平面，这就给人无数种选择。假设有这样一幅2*2图，四个角上的灰度为1，2，3，4

1 2

3 4

最简单的延拓方案为左图，但是这样一来在边界上的灰度就不连续，结果就是还原出来的图四个角的灰度都是2.5，就是失真了。因此采取一个复杂一点的方案如右图，这样边界上灰度就是连续的了，还原出来的图跟原图完全相同。右图中的4*4小图是中心对称的，因此它对应的傅立叶级数就没有正弦项。上面说的延拓只是画外音，不需要真的作图，实际只需对原来的2*2图作计算，结果“只取余弦”就是在这个意义上说的。

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

3 4 3 4 3 4 4 3 3 4

1 2 1 2 3 4 4 3 3 4

3 4 3 4 1 2 2 1 1 2

1 2 2 1 1 2

3 4 4 3 3 4

傅立叶级数在原函数的连续点也不一定收敛，不过人们已经发明了各种求和法，可以从发散级数求得合理的有限和，这个问题也不再是问题。