主题：【提问】从音色想到图象压缩 -- 东方射日

月色溶溶MM讲到了音色【sos】关于音色

引出来一个曾经GG的精华帖[原创]也来谈谈音色

在该贴中提到了傅里叶变换。不由就想起了图象压缩。

现在最主流的图象压缩算法应该是JPEG了吧，JPEG和MPEG，MJPEG的算法都是离散余弦变换（DCT： Discrete Cosine Transform）。其实就是离散傅里叶变换（DFT：傅里叶变换仅取离散值）只取其中余弦分量的一种变换。

详细的变换过程我实在不敢写下来冒充原创，大家稍稍搜搜就有大把的文章。[URL=]http://blog.sina.com.cn/u/3f2c8a2201000639 [/URL]这篇是被转载拉无数次的介绍文章，图文并茂，很容易理解。

问题是为什么图象压缩只采用其中的余弦分量呢？我找到的答案是因为如果采用DFT，在两端有比较大的失真。

为什么采用DFT，在两端有比较大的失真呢？我找到的答案是因为余弦分量是偶函数，而正弦分量是奇函数。

为什么奇函数经过变换和逆变换在两端会产生比较大的失真呢？

－－－懒人有懒办法，贴出来等大牛回答－－－

是这么着的，一个函数f(x)用Fourier级数近似时，在连续点x处（啥叫“连续”，啥叫“连续点”？初级高等数学里的东西～～～）,Fourier级数收敛到f(x)；在不连续点x处，Fourier级数收敛到［f(x+)＋f(x-)]/2，f(x)的左极限与右极限的平均值。

实际图象压缩时，如果不做处理，就相当于将有限的函数定义做周期扩展，这样边界上的值不连续，Fourier级数就不会收敛到原值，就会失真。

如果将图象按轴对称的方式做周期扩展，边界上的值连续，Fourier级数收敛到原值，就不会失真。而且因为扩展后的函数是偶对称的（啥叫“偶对称”，啥叫“奇对称”？初级高等数学里的东西～～～），Fourier级数中的正弦分量都是零，只剩下余弦分量。

“偶对称”是关于Y轴对称

“奇对称”是关于原点对称

有点明白乐。图象展开是按轴对称方式展开的，所以只取余弦分量。如果取正弦分量，除非在两端的值为零，否则按原点对称就生成乐不连续点（自己定义的），然后

就产生乐失真！(大的偏小，小的偏大)

是这样吗？侯教中

傅立叶级数是用来对付（空间）周期性函数的，一幅图只在有限范围内有意义，因此如果要得到它对应的傅立叶级数就必须先把图延拓到整个空间/平面，这就给人无数种选择。假设有这样一幅2*2图，四个角上的灰度为1，2，3，4

1 2

3 4

最简单的延拓方案为左图，但是这样一来在边界上的灰度就不连续，结果就是还原出来的图四个角的灰度都是2.5，就是失真了。因此采取一个复杂一点的方案如右图，这样边界上灰度就是连续的了，还原出来的图跟原图完全相同。右图中的4*4小图是中心对称的，因此它对应的傅立叶级数就没有正弦项。上面说的延拓只是画外音，不需要真的作图，实际只需对原来的2*2图作计算，结果“只取余弦”就是在这个意义上说的。

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

3 4 3 4 3 4 4 3 3 4

1 2 1 2 3 4 4 3 3 4

3 4 3 4 1 2 2 1 1 2

1 2 2 1 1 2

3 4 4 3 3 4

傅立叶级数在原函数的连续点也不一定收敛，不过人们已经发明了各种求和法，可以从发散级数求得合理的有限和，这个问题也不再是问题。