主题：【原创】负数，虚数与境界 -- 瘦形胖子

对任意自然数a，b，记<a，b>={(c，d）|c，d为自然数且a+d=b+c}（就是把所有满足a+d=b+c的有序自然数对（c，d）放在一起构成一个集合，容易证明：当且仅当（c，d）属于<a，b>时<a，b>=<c，d>）），把这样的集合<a，b>称为整数，然后定义加法、减法、乘法，进而证明各种运算律。

当然也可以从给定的一系列公理出发，来证明这组公理所确定“整数”的性质。

更进一步就是证明任何满足那组公理的对象“整数”必定等价于上面构造出来的那个模型。

像这类的所谓解释不清楚是由同一个概念的不同学习层次造成的。学生理解能力有限，严格化的东西一下子端上来无法接受，或者从实际应用出发没必要弄得太严格，对大多数人来说只要掌握大致概念就可以，需要深造的可以学习后继课程。比方说幼儿园小朋友就开始学习自然数，老师或者家长怎么跟他们解释这个概念的呢？把皮亚诺公理搬出来？开玩笑。只能用形象诱导出数的概念，比如从一根铅笔，两只鸭子，三个菱角……，然后再高级点就教小朋友数是不依赖于具体代表物的，一根铅笔的“一”和一只鸭子的“一”是一样的，然后再教他们如何做加法、减法、乘法，这些运算满足什么性质：交换律、分配律等等。

如果小朋友问你：自然数到底是什么？为什么这些运算满足这些性质？你也许能给出种种解释，但也只不过是解释，让对方觉得已经明白了而已，实际上还是一团浆糊。不是因为解释者学得不够好，而是因为在原来的层次这些东西确实是含糊不清的。