主题:【讨论】【分享】动脑筋消遣 -- 侯登科
要证明 Pa = Pw23 Pw12 + (1-Pw23)Pw13 > Pb = 1-Pw21 = 1-P2/(P1 + P2 - P1 P2)。
对于固定的P1和P2,我们研究P3的取值范围∈(P2,1],看看P3的取值对于不等式的左边有什么影响?
首先注意到Pa是两项的加权平均——是Pw12与Pw13这两项的加权平均,权重因子分别为Pw23与(1-Pw23)。
当P3增大,Pw23就减小(直观而言,2对3的决斗胜率,随着3的准头的增加而减小),Pw13也减小。
若Pw23减小,那就是说在Pa中,Pw12所占的权重(Pw23)会减小;而Pw13所占的权重(1-Pw23)会增大。
由于P3>P2,所以Pw13<Pw12(直观而言,都是在1首发的情况下,1对3的决斗胜率,比1对2的决斗胜率小)。
所以最终的结果是:Pa在减小(因为两项的平均值中,小的那项变小,而且其所占的份额还变大,于是把总的均值愈加拉小了)。
所以左端的下限在P3=1时达到,为:
Pa1 = P2 Pw12 + (1-P2)P1。(当P3=1时,Pw23=P2;Pw13=P1。)
下面要证的是:Pa1 > Pb。
喝口水先……
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🙂谢楼下各位捧场,在此一并回复 2 侯登科 字1253 2008-08-07 13:12:51
😭【推广第二题】N个枪手为抢一个美丽的公主而决斗,枪手的命中率 1 衲子 字324 2008-08-07 11:38:47
🙂【原创】解题思路:1、对于三人问题,最佳策略不依赖于具体的命中率 2 衲子 字907 2008-08-07 12:22:50
🙂【原创】那个不等式的证明
😨【原创】证完(辣快妈妈,太繁琐啦,不接茬玩了) 1 衲子 字748 2008-08-07 13:44:16
😭break even 点 是P2=(3-sqrt(5))/2 1 衲子 字394 2008-08-07 14:00:05
🙂【原创】2、下面分析四人问题。还是先从最高手的角度来考虑 2 衲子 字364 2008-08-07 12:33:20
🙂4人的2号照3人的1号做? 侯登科 字12 2008-08-07 13:48:17