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戴狄金分割（Dedekind Cut）

无论是在整数集、有理数集还是实数集里，都存在一种集合的分割方法，叫做戴狄金分割。所谓戴狄金分割，是指在一个可以严格排序（不妨叫做大小）的集合里，将整个集合分割为没有交集的两个部分，A和B，其中A中任何元素要小于B中任何元素。这里我们把A叫做下集，B叫做上集。大家可以自己验证在整数集、有理数集和实数集里都存在这种戴狄金分割。

整数集的戴狄金分割有个特点，就是下集A包含一个最大数，而上集B包含一个最小数。我们不妨把这两个数叫做边界数。有理数集和实数集的戴狄金分割则不再具有这个特点。有理数集中，任何两个有理数之间必有大小介于二者中间的第三个有理数存在；实数集也有类似性质。这个性质叫做有理数（或实数）的稠密性。如果有理数集或实数集的戴狄金分割的下集A包含一个最大数同时上集B包含一个最小数的话，由于稠密性，此二数之间必存在一个数，则这个数既不属于A也不属于B，而任何一个数应该属于A和B中一个（且仅一个）。矛盾。

实数集的戴狄金分割，或者A有边界数，或者B有边界数，二者之中有（且仅有）一个成立。所以实数集的戴狄金分割，或者是A={x<=r}, B={x>r}, 或者是A={x<r}, B={x>=r}，其中r是一个实数。有趣的是，有理数集中，除了A和B不能同时有边界数以外，其它三种可能都有：或者A有B没有边界数，或者A没有B有边界数，或者A和B都没有边界数。有理数集的戴狄金分割，或者是A={x<=q}, B={x>q}, 或者是A={x<q}, B={x>=q}，其中q是一个有理数,或者A={x<c}, B={x>c},而c是个无理数，不属于有理数集。实数集与有理数集的这种区别，来源于实数集的连续性（又叫完备性）。

注记：戴狄金分割其实是著名数学家戴狄金为了建立实数的严格理论而发明的。如果限制有理数集的戴狄金分割不允许上集有边界数，则可以建立有理数集的戴狄金分割与实数的一一对应关系，从而在有理数的基础上严格定义了实数，为分析数学的发展奠定了扎实的基础。