主题：【笔记】戴狄金分割（Dedekind Cut） -- frnkl

神秘的随机变量（为方便叙述，只讨论一维情形）

随机变量在一般的概率论教材里经常写为X（w）的形式（有时进一步简写为X），与一般函数的写法类似。由于符号使用的关系，初学者往往只关注这层函数映射的关系，而经常疑惑X的随机性怎么表现出来呢？这个其实不难解决。问题的关键是，假设S是w所有可能取的点构成的集合，上帝是在空间S里掷骰子（不是普通骰子啊）；骰子掷出来以后，点w的位置就决定了，然后通过函数X（w），X的值就决定了。

有较真的同学会问，上帝是怎么掷骰子的？OK，谁也不能确切知道。我们只知道w落在S的某些子集的可能性（或者说概率）必须满足某些规律，上帝之掷也不能违反这些规律。大家可以从测度论里找到这些规律的描述。

那么我们经常碰到的实随机变量，又怎么适用上面的解释呢？简单，例如正态变量X，我们只要取S=R（实数集），X（w）=w就可以了。当然，这只是一个可能的解释，S的取法不是唯一的，有很多很多。当只涉及一个随机变量时，上述解释最方便。当涉及两个或多个随机变量时，S只能取一个复杂得多的空间。一般如果有m个随机变量X_1,X_2,...,X_m，可取S为m-维的实空间。如果w=（w_1，w_2,...，w_m)，则取X_1(w)=w_1, X_2(w)=w_2, ..., X_m(w)=w_m即可。不论有多少随机变量，S当然可以取其它抽象的空间；这时X（w）的函数描述就不那么简单了，难得有显式表达。

注：上述S的取法，存在性可以证明。