主题：【笔记】戴狄金分割（Dedekind Cut） -- frnkl
家园 【笔记】戴狄金分割（Dedekind Cut） 戴狄金分割（Dedekind Cut）
无论是在整数集、有理数集还是实数集里，都存在一种集合的分割方法，叫做戴狄金分割。所谓戴狄金分割，是指在一个可以严格排序（不妨叫做大小）的集合里，将整个集合分割为没有交集的两个部分，A和B，其中A中任何元素要小于B中任何元素。这里我们把A叫做下集，B叫做上集。大家可以自己验证在整数集、有理数集和实数集里都存在这种戴狄金分割。
整数集的戴狄金分割有个特点，就是下集A包含一个最大数，而上集B包含一个最小数。我们不妨把这两个数叫做边界数。有理数集和实数集的戴狄金分割则不再具有这个特点。有理数集中，任何两个有理数之间必有大小介于二者中间的第三个有理数存在；实数集也有类似性质。这个性质叫做有理数（或实数）的稠密性。如果有理数集或实数集的戴狄金分割的下集A包含一个最大数同时上集B包含一个最小数的话，由于稠密性，此二数之间必存在一个数，则这个数既不属于A也不属于B，而任何一个数应该属于A和B中一个（且仅一个）。矛盾。
实数集的戴狄金分割，或者A有边界数，或者B有边界数，二者之中有（且仅有）一个成立。所以实数集的戴狄金分割，或者是A={x<=r}, B={x>r}, 或者是A={x<r}, B={x>=r}，其中r是一个实数。有趣的是，有理数集中，除了A和B不能同时有边界数以外，其它三种可能都有：或者A有B没有边界数，或者A没有B有边界数，或者A和B都没有边界数。有理数集的戴狄金分割，或者是A={x<=q}, B={x>q}, 或者是A={x<q}, B={x>=q}，其中q是一个有理数,或者A={x<c}, B={x>c},而c是个无理数，不属于有理数集。实数集与有理数集的这种区别，来源于实数集的连续性（又叫完备性）。
注记：戴狄金分割其实是著名数学家戴狄金为了建立实数的严格理论而发明的。如果限制有理数集的戴狄金分割不允许上集有边界数，则可以建立有理数集的戴狄金分割与实数的一一对应关系，从而在有理数的基础上严格定义了实数，为分析数学的发展奠定了扎实的基础。
元宝推荐：晨枫,家园 about number Recently I had a chance to see the movie Enigma, a romance on top of a security encryption story from World War II. The main mathematician was asked whether he liked math. His answer: “I like numbers, because in numbers the truth and beauty emerge. You find out, you are walking in the right direction when everything becomes nicer. And then the numbers get you closer to the secret matter of all things.” I can hardly imagine better glorification of the Greeks’ ideal of truth, beauty, and elegance. How deeply inside of most of us the feeling that these three belong together has to be, when a sentence like this appears in a romantic movie for nonscientists.
家园 【笔记】神秘的随机变量 神秘的随机变量（为方便叙述，只讨论一维情形）
随机变量在一般的概率论教材里经常写为X（w）的形式（有时进一步简写为X），与一般函数的写法类似。由于符号使用的关系，初学者往往只关注这层函数映射的关系，而经常疑惑X的随机性怎么表现出来呢？这个其实不难解决。问题的关键是，假设S是w所有可能取的点构成的集合，上帝是在空间S里掷骰子（不是普通骰子啊
）；骰子掷出来以后，点w的位置就决定了，然后通过函数X（w），X的值就决定了。有较真的同学会问，上帝是怎么掷骰子的？OK，谁也不能确切知道。我们只知道w落在S的某些子集的可能性（或者说概率）必须满足某些规律，上帝之掷也不能违反这些规律。大家可以从测度论里找到这些规律的描述。
那么我们经常碰到的实随机变量，又怎么适用上面的解释呢？简单，例如正态变量X，我们只要取S=R（实数集），X（w）=w就可以了。当然，这只是一个可能的解释，S的取法不是唯一的，有很多很多。当只涉及一个随机变量时，上述解释最方便。当涉及两个或多个随机变量时，S只能取一个复杂得多的空间。一般如果有m个随机变量X_1,X_2,...,X_m，可取S为m-维的实空间。如果w=（w_1，w_2,...，w_m)，则取X_1(w)=w_1, X_2(w)=w_2, ..., X_m(w)=w_m即可。不论有多少随机变量，S当然可以取其它抽象的空间；这时X（w）的函数描述就不那么简单了，难得有显式表达。
注：上述S的取法，存在性可以证明。
家园 我觉得实数完备性是数分里最酷的东西 记得有六个等价命题，连环套。当时我们的数分老师讲得唾沫横飞激动不已，而且很阴险地把等价性证明作为期末考题。考完回寝室睡觉，做梦都梦见一个个衣普希隆和戴尔塔在飞。
家园 其实我很喜欢这个，甚过另外一种划分 家园 加精鼓励，多多动笔 家园 战战兢兢 我的文字水平自己是知道的，晨枫兄的鼓励不由得使我战战兢兢。多谢了！以后尽量多动笔，不管能达到多高水平，不枉晨枫兄一番美意。
家园 通宝的作用 是奖励我说实话：“真没看懂”。
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家园 【笔记】欣赏微积分基本定理 仅以一维有限区间的定积分为例。
我们知道，对大部分函数，计算定积分，只有数值方法可用。而对于少数可以找到解析解的定积分，直接根据定义计算定积分很麻烦。实际上首先要把区间分割，然后对一个有限项的和求极限。这个过程极其繁琐，甚至有时是不可能的。分析函数f(x)在区间[a,b]上的积分，显然取决于三个因素：f(x),a,b。这三个因素怎么决定积分值呢，微积分基本定理告诉我们，只要找到一个函数g(x)，其导函数为f(x)，则函数f(x)在区间 [a,b]上的积分就等于g(b)-g(a)。而有微积分学习经验的同学都知道，有公式解的不定积分基本就是凑出来的，是一种代数符号运算，所以微积分基本定理把一种繁琐的求和求极限运算，转换成简单的代数符号演算。可以想象当初微积分的先驱者得到这一结果时多么激动，一下子一大堆千奇百怪函数的积分可以轻易得到了，妙矣！
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从来不是一个善于表达的人，但强拿起手里的秃笔写点东西，总比吵架生闲气好。河里需要的是更多建设，勉尽微薄之力。此记。
通宝推：熊仔,家园 这个“凑”字真好 有公式解的不定积分基本就是凑出来的学微积分的时候，和小学学习除法的感觉很像，就是“凑”。
家园 想起刚学微积分时候的感受了，脱口而出的就是，哇，太漂亮了 脱口而出之后，才知道自己说了什么。
感觉就是换一个角度，事情立刻轻易的化繁为简。。除了大赞干得漂亮之外，再说不出别的。。。
很久以后别人议论数学之美和艺术之美的区别的时候。。。咳咳，我总是想起自己当初脱口而出的太漂亮。。。
简洁为美。
真是很羡慕聪明的人能领略发现这样的美。
送花~~~~
家园 我觉得这个定理应当比较容易想到 积分是求和，微分是分块，很自然的互为正反的关系。不象欧拉公式和付利叶变换那么匪夷所思。
家园 欧拉公式的确很牛逼
家园 好 拿起手里的秃笔写点东西，总比吵架生闲气好。河里需要的是更多建设，勉尽微薄之力。
。大地兄关于飞机的故事和科普很开眼界，盼望读到你更多好文。