主题：【原创】疯狂科学家的公式化生存（一） -- 游识猷

三角函数与微积分

如果要你以数学之眼来描绘一条条周期性曲线，你会如何做？给每个曲线计算出一条独一无二的数学表达式？

不不不，这样太麻烦而缺乏统一之美了。法国数学家傅里叶宣称，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。这个通用表达式就被称为傅里叶级数（fourier series），也就是图中起伏的山峦下的公式8——

傅里叶这家伙的生活经历也颇曲折有趣。他是与拿破仑同时代的法国人，曾作为拿破仑的御用科学家随军远征埃及，在那儿被任命为下埃及的总督的他开始潜心研究古埃及文化，在他领导下甚至发掘出了埃及著名的罗塞塔石碑 。这块石碑上面的碑文用三种文字——象形文字、通俗埃及语文字以及希腊文字——共同记载了托勒密五世的功绩，因而成为了解读象形文字最重要的文物。

不幸的是，后来傅里叶君被英国海军打败并俘虏了，于是如今你想看罗塞塔石碑，就得去大英博物馆而不是卢浮宫。

更为不幸的是，后来他的老板——拿破仑自己也被打败并流放到南大西洋的小岛上去了。失业的傅里叶想了想，决定远离政治这个高风险行业，继续科学家这份很有前途的工作。

于是没多久，他就在《热的解析理论》中系统性地用三角函数和三角积分来研究热传导问题，即傅里叶级数的雏形。

此后，众多数学家纷纷对这一级数加以补充研究，如今它已然成为研究一切周期性现象（行星运动、各种振动和波动、通讯信号……）的最有力工具。

分形学

大自然中存在着各种形状，有些规则的早就被我们关注并命名——圆形、方形、三角形。但有一大类广泛存在的形状却被人类熟视无睹几千年。直到1975 年，波兰数学家曼德勃罗（B. B. Mandelbrot）才创造出分形（Fractal）一词，这个词原意具有不规则、支离破碎等意义，曼德勃罗用它来描述那种极其复杂而不规则但具有自相似性的形状。

估计这个定义要把人搞糊涂了，还是让我们来看几个自然界中的分形例子吧。

动物要分形（鹦鹉螺）

植物也分形 (宝塔菜，Romanesco Cauliflower)

空中要分形（闪电）

海边要分形（海岸线）

总之这年头，你不分个形，你都不好意思出来见人，怕别人说你——没型。

看了这些分形例子，我们大致能对所谓的“自相似性”有个概念了。所谓自相似性，就是一个物体在不同的空间维度下观察起来有相似的形状。当然，自然界中的分形各有不同的自相似度，有的是严格相似，有的则只是近似，比如我们刚刚看到的罗马花椰菜自相似度就高于海岸线的自相似度。数学家把严格相似的分形称作有规分形，近似的分形称作无规分形。

分形学的用处在哪里呢？传统的欧式几何可以很容易地描绘一个规则形状——对一个圆，只要给定圆心半径，我们就有了唯一确定的数学表达式。可是对于极其复杂的分形图形，因为它的非光滑性，对它的观察尺度可以一再缩小而依然得到相似的形状，因此几乎是无穷复杂的。如果想用欧式几何的表达式来表达这种图形，简直就是不可能的任务。

但有了分形的概念以后，数学家就利用这种自相似性，给复杂图形归纳出一个相对简单的图形规则，然后以这个规则的数学表达式对从基本图形开始不断迭代，就可以绘出理论上无限复杂的分形图。

这样利用规则迭代而生成的分形图有很多，其中一种著名图形就叫巴恩斯利蕨（Barnsley fern）。这名字来源于它的首创者——美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授。

是第一个提出迭代函数系统(IFS，简称迭代函数系)的人，他实际上研究的是如何利用自相似性把描绘自然景观的信息进行大幅压缩。基本思路是以一些运算规则为基础，把原始图形(生成元)进行收缩、旋转、平移等收敛性的仿射变换（affine transformations），最终形成具有自相似的分形结构的极限图形, 该集就被称为 IFS.

为了生成植物的形状，巴恩斯利教授把两种运算规则相结合：确定性算法与随机性算法。一方面他规定了一组N个确定的仿射变换(记为R-1，R- 2，R-3……R-N) ，每次迭代的规则都必定来源于组内。另一方面，具体每次迭代哪一个规则是随机决定的。

运算时，每个规则R-i被选中的可能性记为P-i。每次随机地从R-i(i=1,…，N)中挑选一个迭代规则迭代一次，然后再随机地在R- i(i=1,…，N)中选一个规则迭代一次，不断重复，最后生成一张类似植物形态的极限图形。

巴恩斯利蕨就是依此规则生成的。它的仿射变换组内含有四个公式，形式如下——

a、b、c、d、e、f都是参数，参数对应的数值表格如下，p是该运算规则R被选中的概率。

R a b c d e f p

1 0 0 0 0.16 0 0 0.01

2 0.85 0.04 －0.04 0.85 0 1.6 0.85

3 0.2 －0.26 0.23 0.22 0 1.6 0.07

4 －0.15 0.28 0.26 0.24 0 0.44 0.07

这就是计算机按照图中的公式9为规则生成的巴恩斯利蕨。

生物化学

漫画下部的兔子头上画了俩O2（氧气），一个边上写了CO2（二氧化碳），代表了它正不断地吸入氧气排出二氧化碳。

目前地球上的绝大多数需氧动植物每天都在干这事——增加碳排放，为地球的温室效应贡献自己的一份心力。倒不是生物们都嫌地球太冷了，打算联合起来让它变暖些。这个碳排放纯属形势所迫——不能直接利用太阳能的动物们需要能量啊。能量从哪里来？第一步储能，从外界摄入含能量的营养物质，把它消化吸收，成为自身储备，这就是所谓的合成代谢（同化作用）。第二步释能，把自身储备的各种大分子——蛋白质、脂类、糖类——经各种途径分解以释放能量，维持生命机能，并排出代谢废物，即所谓的分解代谢（异化作用）。

有氧呼吸就是分解代谢中极其重要的组成部分，也是所有高等动植物的主要呼吸方式。生物细胞在许多酶的帮助下，利用氧气彻底氧化葡萄糖（分子式C6H12O6）。

整个有氧呼吸反应的代谢终产物是二氧化碳和水，同时释放出大量能量，这些能量一部分用于合成高能分子ATP，另一部分则以热能的形式散失了。用化学式写下这个总反应，就是反应式10——

C6H12O6+6H2O+6O2→6CO2+12H2O+ 38ATP

至于11号的树木头上的O2 、CO2旁的箭头与之前兔子头上的箭头方向相反，代表树木在光合作用（Photosynthesis）时吸入二氧化碳放出氧气。与各位碳排放大军不同，植物起到了碳固定的作用。可以想见，如果缺失了这关键的一环，整个地球生物圈的碳氧循环链就会出现大问题。

于是阳光与叶绿素协同工作的结果，就是反应式11——

12H2O + 6CO2 →C6H12O6 (葡萄糖) + 6O2 + 6H2O

至此我们已全部分析完这幅漫画。简单统计可知，漫画中出现中大学水准的物理方程七个，大学水准的数学方程两个，中学水准的生化方程两个……神秘的作者全玄鸿极可能是一名物理学家。

其实，除了这幅描述好奇的科学家是怎样看待世界的漫画，全玄鸿还新近画了另一幅漫画，题为《在车站》。

我倒以为，若标题改做《世界是怎样看待科学家的》也非常适当。就让我以这幅漫画的汉化版，作为本文的结尾。

致谢：

本文在收集资料和写作定稿过程中得到许多大力襄助，在此向如下松鼠谨致谢意：水龙吟、沐右、孙正凡、Sheldon.li、fwjmath、不野妹、Shea、Ent、姬十三、霍森布鲁斯，没有你们提供的信息与拍来的青砖，此文不会诞生亦无法成形。本排名不分上下左右南北西东，如有遗漏，纯属无意，请速速告知……

另外，感谢穿越的指正。原来人类雌性不是唯一灵长类中会长出大波波的……

穿越:这年头，你不分个形，你都不好意思出来见人？

图片在此，非重口味勿入……

游识猷:大猩猩也有？！

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